356 RKYUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



qui expriment que les deux valeurs des dérivées secondes -r — ~ 



àxkàxf^ 



qu'on peut calculer au moyen des équations (i) sont identiques. 



Voici, sur ces systèmes, la proposition préliminaire que dé- 

 montre M. BoLirlet pour l'appliquer àla solution du problème pro- 

 posé. 



Étant donné le système de mn équations aux dérivées partielles 

 du premier ordre 



(i) — ^z=/;7i;(i=:i, 2, ...m;/r= 1,2, ...n) 



OXk 



OÙ fik désigne une fonction de u^, u,^, ..., Um, x^, x^, ..., Xn^ et les 

 p relations distinctes 



(2) (pa(wi,M2, ... Mto, a?i, a?2, ... a?,j) = o (A=: 1, 2, ... jo), 



s'il existe des fonctions u^, u.^, ... Um de x^, ... a?n vérifiant à la fois 

 les équations (1) et (2), ces fonctions satisferont à un système com- 

 plètement intégrable de la forme 



(3) 



àui ^^ , . 



; kziz 1, 2, 



...n)r<im, 



et à m- 



- r relations de la forme 









( Wr+l = ^l(wi, W2, . 



..,Ur; Xi,. 



..x„) 



[ Um^=^']>m—r{Ui,U2,...Ur;Xi^,.,Xn), 



et réciproquement, toutes les solutions des systèmes (3) et (4) sa- 

 tisfont aux systèmes (1) et (2). 



Le système (3) étant complètement intégrable, un théorème 

 connu montre que le système d'intégrales le plus général dépend 

 de r constantes arbitraires, et fournit même le moyen de trouver 

 ces intégrales. 



Le théorème préliminaire qui vient d'être énoncé conduit enfin 

 à la proposition suivante : 



La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système (A) 

 d'équations aux dérivées partielles simultanées entre p fonctions 

 z^, Zg,... Zp et n variables a?i, x^, ..., a?« admette, comme système le 

 plus général d'intégrales un système dépendant d'un nombre fini 

 de constantes arbitraires ou soit incompatible, est qu'en adjoi- 

 gnant aux équations de ce système certaines des équations que 

 l'on peut en déduire en les dérivant une ou plusieurs fois par rap- 



