ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 357 



port à a?i, a?2,..., ^n, on puisse former un second système (B) équi- 

 valent au système (A), tel qu'on puisse tirer de ce système toutes 

 les dérivées des fonctions z^, z^,..., Zp^ respectivement d'ordress^, 

 Sg, ,.., Sp en fonction de x^, x^,..., Xp, z^, z^, ..., Zp et de leurs dé- 

 rivées d'ordres respectivement inférieurs à^^, s^, ..., Sp. 



Lorsque cette condition est remplie, on peut ramener Fintégra- 

 tion du système (A) à l'intégration d'un système d'équations diffé- 

 rentielles ordinaires du premier ordre. 



Ce dernier résultat semble avoir été aperçu antérieurement par 

 M. R. Liouville. 



M. Bourlet consacre la deuxième partie de son mémoire à l'étude 

 spéciale des systèmes linéaires d'équations aux dérivées partielles 

 du premier ordre. 



Voici comment il définit les systèmes canoniques : 



Étant donné un système d'équations aux dérivées partielles du 

 premier ordre, linéaire^ entre m fonctions w^, u^,...,Um et w va- 

 riables indépendantes a?^ Xç^,...,Xn résolu par rapporta un certain 



nombre de dérivées r — 

 àxk 



au 



ce système sera dit mis sous forme canonique si les fonctions fe 



de x^, a?2,... Xn, Wi, u^, ..., Um et des dérivées de u^, u^, ..., Um (qui 



y sont contenues linéairement) satisfont aux conditions suivantes : 



1" ^ik ne renferme que des dérivées par rapport aux variables 



Xp dont l'indice h est égal ou supérieur à k ; 



ôm ■ 

 2° Si une dérivée -^ d'une fonction Uj par rapport à la variable 



Xfc figure dans '^iu, l'indice j de cette fonction est supérieur à i. 



L'auteur montre que tout système linéaire du premier ordre 

 peut être mis sous forme canonique. 



Il définit les systèmes canoniques complètement intégrables et 

 fait voir qu'un pareil système admet toujours un système d'inté- 

 grales générales dont le degré de généralité est parfaitement dé- 

 fini. 



La troisième partie du travail sert de lien entre les deux pre- 

 mières et contient les conclusions que voici : 



La convergence des développements des intégrales d'un sys 

 tème quelconque, calculés au moyen des équations mêmes de ce 

 système, est établie. 



