ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 443 



Sur les variations observées de la latitude d'un même lieu, par 

 M. Gaillot. [Comptes rendus de VAcad. des sciences^ tf CXII, 

 1891, p. 651-653.) 



Sur la théorie de la représentation conforme, par M. Painlevé. 

 [Comptes rendus de l'Acad. des sciences, t. CXII, 1891, p. 653- . 

 657.) 



M. Painlevé indique un moyen simple de lever l'objection de 

 Harnack relative à la représentation conforme. 



Soit S une aire du plan des z de contour 5 etÇ une fonction ana- 

 lytique de z qui représente l'aire S sur le cercle F de rayon 1. 

 Quand z tend vers un point zo de s, 'Ç tend vers la circonférence y 

 de r, mais il n'est pas certain (et c'est là l'objection de Harnack) 

 que ^ tende vers un point déterminé de y. 



Or, M. Painlevé montre qu'il en est toujours ainsi lorsque la 

 tangente le long de s varie avec l'arc d'une manière continue, 

 sauf en un nombre fini de points anguleux. 



L'auteur démontre même un théorème qui comprend celui-là 

 et qu'il énonce ainsi. 



Soient AB un arc de courbe le long duquel la tangente varie 

 d'une manière continue (sauf en un nombre fini de points angu- 

 leux), S une aire que AB limite partiellement, Z[z) znX -{- iY une 

 fonction holomorphe dans S. Si X(a?, y) prend sur AB une valeur 

 constante, Y prend une suite continue de valeurs le long de tout 

 fragment A'B' de AB. De plus, l'angle a de deux courbes z qui se 

 coupent au point z^ de A'B' est égal à l'angle A des deux courbes 

 Z correspondantes. Si toutefois z^ est un point anguleux de A'B', 



a désignant l'angle des deux tangentes en ce point, on a Ai=a— . 



TU 



Enfin M. Painlevé énonce cette proposition plus générale en- 

 core. 



Soient AB un arc de courbe tel que les fonctions x[s), y[s) ad- 

 mettent une dérivée continue d'ordre p -[- 2, et Z(z) == X-}- iY une 

 fonction de z holomorphe dans Faire S attenante à AB. 



Si X [x, y) prend sur AB des valeurs X^ [s) qui admettent une 



dérivée d'ordre ^ + 1 intégrable -—- — — — ^ , Z[z) et ses dérivées 

 jusqu'à l'ordre n inclusivement prennent, le long de tout fragment 



