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Sur un problème d'analyse qui se rattache aux équations de la 

 DYNAMIQUE, par M. R. LiouviLLE. [Comptes rendus de VAcad, des 

 sciences, t. CXII, 1891, p. 710-712.) 



Soit un système matériel dont le mouvement dépend de trois 

 paramètres. 



En profitant d'une remarque due à M. Darboux, on peut suppo- 

 ser que la fonction des forces est réduite à une constante; soit 

 alors 



_ dx,\- / dx.\'^ 



\ dt 



la force vive du système rapporté à des coordonnées convenables. 

 M. R. Liouville cherche à choisir pour les fonctions a, 3? Y des 

 expressions telles que les équations différentielles du mouvement 

 puissent être déduites, soit de la forme 2T, soit d'une seconde 



forme où entrent en général les produits -7^, ~7^-*- 



11 existe des cas où les équations des trajectoires étant don- 

 nées, il ne suffît pas de connaître le déterminant de la forme 2T 

 pour en conclure cette forme elle-même. En d'autres termes, il 

 existe des cas où l'on peut choisir a, (3, y de telle manière qu'une 

 seconde forme, de même discriminant, corresponde aux mêmes 

 formes. 



Tous les cas de cette espèce sont donnés par les relations 



03 _ ô? ou _ ô? ài3 _ ôy _ 



^àx^ àx^^ 30.^2 ÔX3' àx^ ôa^j 



jointes à l'une des suivantes 



àx . èx 



cos <D — sin ç — ^- = 0, 



■ poa?2 Yoa?3 



ôa àx 



Alors, par un choix convenable de variables, on peut donner à 

 T la forme 



2T de — $ [x,, ¥[\) — /"(X^)] dx,' + (/X2 d\,. 



Il n'y a aucune difficulté à calculer la seconde forme quadra- 

 tique Tj associée à T, et il est clair que l'équation 



-~~ const. 



