50i REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



brique des équations différentielles serait résolu si l'on avait une 

 limite supérieure du nombre p. 



Soit a'o, t/o, :3o, un des points singuliers de l'équation, donnés 

 par les relations 



L__M_N 



X y z 



et supposés tous distincts. 



Dans le voisinage de ce point l'intégrale générale peut se mettre 

 sous la forme 



Xj Xt :=const., 



s étant une constante, etX^, X, deux séries s'annulant au point 



singulier et ordonnées suivant les puissances de , — — — . 



Supposant s réel et commensurable (car dans le cas contraire, 

 l'équation ne serait pas intégrable algébriquement), M. Poincaré 

 appelle nœuds les points pour lesquels s est positif, cols ceux pour 

 lesquels il est négatif. 



Posant s^-[\x et v étant deux nombres premiers entre eux) et 



supposant que la courbe (i) ait en un nœud \ branches distinctes, 

 l'auteur montre que l'on a 



p' = Sa'[J//, {m + 2)/? = SXdj, 4- v), 



les sommations devant être étendues à tous les nœuds. 



D'ailleurs le genre q de la courbe (1) est donné par la formule 



,= . + s^^ 



H' + V r— 



m -\- 2 



Cette formule permet, toutes les fois que m est plus grand que 

 4, de reconnaître si l'intégrale générale de l'équation différen- 

 tielle est une courbe algébrique de genre donné. 



M. Poincaré montre encore que le nombre des valeurs remar- 

 quables de C (valeurs pour lesquelles le polynôme /+ C© n'est pas 

 irréductible) ne peut dépasser le nombre des cols de deux unités. 

 Pour toutes les valeurs remarquables de C, la courbe (1) va passer 

 par un col. 



Si pour tous les nœuds s=:i, le nombre des nœuds est au 



moitis ^ - . 



