506 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Théorème 11. — A toute équation linéaire (i) correspond un 

 groupe G de transformations finies linéaires et homogènes, tel 

 que : i° toute fonction Rqui s'exprime rationnellement (toujours 

 au moyen des éléments précédents) admet le groupe G; i° toute 

 fonction R admettant le groupe G s'exprime rationnellement en 

 fonction des mêmes éléments. 



M. Picard avait déjà démontré la première partie de ce second 

 théorème. 



Les théorèmes sur la réduction du groupe F ou G par l'adjonc- 

 tion d'intégrales d'équations auxiliaires sont analogues aux théo- 

 rèmes connus de la théorie de Galois : ils conduisent aux résul- 

 tats suivants : 



Pour que l'équation (i) soit intégrable par quadratures, il faut 

 et il suffit que le groupe T soit un groupe intégrable^ c'est-à-dire 

 contienne un sous-groupe invariant à un paramètre de moins, 

 celui-ci de même^, et ainsi de suite. — Une équation linéaire 

 d'ordre supérieur au premier n'est pas en général intégrable 

 par quadratures. 



Ce résultat peut encore être énoncé sous la forme que voici : 

 Qi étant un invariant rationnel du groupe 



àf àf df àf , 0/ df 



pour que l'équation (i) soit intégrable par quadratures, il faut et 



n in ~~ 1 ) 

 il suffît que l'équation d'ordre —^ dont dépend Q ait une 



intégrale rationnelle. 



Plus généralement, la connaissance du groupe G ou T permet 

 de ramener l'intégration de l'équation (i) à celle d'une suite d'é- 

 quations plus simples. 



La théorie ci-dessus s'étend à toutes les équations différentielles 

 non linéaires dont l'intégrale générale s'exprime par une formule 

 connue en fonction d'un certain nombre d'intégrales particulières. 



Sur une classe de nombres complexes, par M. Markoff. {Comptes 

 rendus de l'Acad. des sciences, t. CXÏI, 1891, p. 780-782.) 



