ANALYSES ET ANNONCES. - MATHÉMATIQUES 507 



NÉBULEUSES NOUVELLES DÉCOUVERTES A l'ObSERVATOIRE DE PaRTS, par 



M. Bigourdan. [Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. GXII, 

 1891, p. 848-850.) 



Sur la déformation des surfaces spirales, par M. Raffy. [Comptes 

 rendus de VAcad. des sciences, t. CXII, 1891, p. 85o-852.) 



Étant donné un élément linéaire, exprimé au moyen de va- 

 riables quelconques, reconnaître s'il existe des spirales admet- 

 tant cet élément linéaire. 



Pour résoudre ce problème, on calculera la courbure totale 

 — 2e9 et l'on formera l'invariant e'~QA0.(Voir, pour les notations, 

 Darboux, Théorie des surfaces^ L. VI, ch. i.) 



S'il ne se réduit pas à une constante, on formera les deux in- 

 variants 



A(.-^Ae) ' A(.-^A6)' 



et l'on devra vérifier que chacun d'eux est une fonction de e~~ AÔ. 



Si e~ Aô est une constante, on calculera l'invariant e~ A^^S. 

 Si ce dernier est constant aussi, l'élément linéaire donné convient 

 à des spirales en même temps qu'à des surfaces de révolution. 



Si e Agô n'est pas une constante, on formera 



eu-^Ae,6) 



^{e-'^.^) 



et ce nouvel invariant devra être une fonction de e~ AçjÔ. 



L'emploi des conditions précédentes permet d'établir les théo- 

 rèmes suivants : 



Les éléments linéaires qui conviennent à la fois à des spirales 

 et à des surfaces moulures sont tous compris dans les formules 



ds' ~ du'- + a^ \u' — V ^~"')dv\ 

 ds^ =: du^ 4- a^ (log u — log vY dv\ 

 où a et m sont des constantes arbitraires. 



