ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 525 



Sur la détermination des surfaces spirales d'après leur élément 

 LINÉAIRE, par M. Raffy. [Comptes rendus de VAcad. des sciences, 

 l. CXII, 1891, p. 1421-1424.) 



Toute spirale est représentée en coordonnées semi-polaires par 

 les formules 



z -z z^e^, r su r^e^, fi =. w^ + A;?>, 



où Zo, r,,, (Do sont des fonctions d'un paramètre w et ^ un^ oons»- 

 tante, et l'élément linéaire de spirale peut s'écrire, eorome on 

 sait, 



U étant une fonction de v. 



M. Raffy montre que la détermination des spirales d'après leur 

 élément linéaire dépend d'une équation fcrèi simple 



k^zl + z'l):=ik'\j' -U'^ 



On ne sait pas intégrer cette équation en général ; mais, comme 

 elle est du genre zéro par rapport à ^^ et 2/, on peut la ramener 

 à un type étudié par divers auteurs, savoir 



i^^^^ 



■/'(«) 



,m 



0. 



Celle-ci est visiblement întégrable par une quadrature quancî 



fin) 



~-4 est constant. D'où cette conséquence : 



f{u) 



Quelle que soit la constante m, on peut obtenir par des quadra- 

 tures toutes les spirales d'élément linéaire 



ds*:=ie^ e^^^ [du- -{-dv'). 



li'anteur montre, en terminant, qu'on peut trouver e^plicite^ 

 m§nt une infinité de spirales applicable^ ^ur la surface engendrée 

 par la développée d'une chaînette tournant o^utour de la ba§ê« 



