ANALYSES ET ANNONCES, — MATHÉMATIQUES 631 



Les points^images des cercles d'un système cyclique sont ob- 

 tenus en cherchant les sommets des cônes isotropes passant par 

 les cercles du système. 



Si Ton considère tous les systèmes cycliques dérivés d'un couple 

 satisfaisant de droites N et N', ainsi que leurs points-images, 

 ceux-ci appartiennent à chaque instant à deux corps invariables 

 symétriques par rapport à un plan. 



Le plan du couple en question touche une surface (S) que l'on 

 peut déformer comme on veut en entraînant N et N', sans que ces 

 droites cessent d'être normales à des surfaces ayant même image 

 sphérique. Les lignes de (S) correspondant aux lignes de cour- 

 bure des surfaces orthogonales à N et N' forment un réseau con- 

 jugué dont les tangentes passent à chaque instant par les foyers 

 des congruences (N) et (N'). 



Cette propriété peut être généralisée : soient N et N' deux 

 droites génératrices de deux congruences ayant même image sphé- 

 rique (mais pouvant ne pas être normales à ces surfaces). Si Ton 

 déforme la surface (S) touchant le plan des droites N etN', chaque 

 plan tangent entraînant les droites en question, les congruences 

 obtenues ont toujours la même image sphérique. Elles sont po- 

 laires réciproques d'une infinité de couples d'enveloppes de sphè- 

 res ayant leurs centres sur (S) et dont les rayons ne diffèrent que 

 par une constante. Les développables suivant lesquelles on peut 

 ranger simultanément les droites des deux congruences corres- 

 pondent au réseau conjugué de (S) dont les tangentes contiennent 

 les foyers situés sur N et N'. 



La proposition qui précède s'applique très heureusement à l'é- 

 tude des couples de surfaces applicables l'une sur l'autre. 



La recherche analytique des systèmes cycliques se ramène à 

 celle des couples de droites satisfaisantes N et N'. Si Z désigne le 

 rayon d'une certaine sphère ayant son centre sur (S), N et N'sont 

 les polaires des enveloppes de sphères de rayon Z et Z + c. On 

 trouve pour déterminer Z en coordonnées symétriques imagi- 

 naires l'équation de Bonnet 



o[rt — s*) — 2 ^ çrr — ij-'pt'\- ^pq 



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