956 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



§ 6 

 MATHÉMATIQUES 



Sur les surfaces a génératrices rationnelles, par M. Lelieuvre. 

 [Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CXIIl, 1891, p. 635- 

 637.) 



Dans des communications antérieures, M. Lelieuvre a déter- 

 miné certaines classes de surfaces à génératrices rationnelles telles 

 que des lignes tracées sur la surface (par exemple, les conjuguées 

 des génératrices) soient définies par une équation de Riccati. 



Actuellement il indique une méthode qui permet de traiter 

 des problèmes plus compliqués, comme la recherche des surfaces 

 telles que les intégrales générales des équations différentielles du 

 premier ordre et du second degré dont dépendent les lignes tra- 

 cées sur elles (par exemple, les asymptotiques, les lignes de cour- 

 bure, etc.) aient leurs points critiques fixes. 



Cette méthode permet de retrouver et de relier entre eux beau- 

 coup de résultats connus ; elle en fournit de nouveaux, entre au- 

 tres ceux-ci : 



1° Les lignes asymptotiques des surfaces engendrées par une 

 conique qui reste tangente à une droite et à quatre plans tangents 

 fixes s'obtiennent par quadratures. 



2" Il en est de même de celles des surfaces engendrées par une 

 cubique gauche ayant quatre points ou une tangente fixe, ou 

 quatre points et deux plans osculateurs fixes, ou quatre points 

 fixes et une enveloppe plane dont le plan reste constamment os- 

 culateur à la cubique. 



3° Les seules surfaces cerclées pour lesquelles les points criti- 

 ques de l'intégrale de l'équation des lignes de courbure puissent 

 être fixes sont celles qui admettent une enveloppe de leurs géné- 

 ratrices circulaires ou sur lesquelles sont tracées deux lignes telles 

 que chacune soit ou une ligne d'ombilics ou une ligne de cour- 

 bure double 1 -f- p^ -j- ^'^ =1: 0. 



