1164 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Ce sont les moulures déjà obtenues par M. Dini, comme solu- 

 tion d'un problème moins général. 



Sur les substitutions linéaires d'une seule variable a coefficients 

 PÉRIODIQUES, par M. d'Ocagne. [Bulletin de la Soc. mathématique, 

 t. XIX, 1891, p. 37-39.) 



Si Ton répète indéfiniment la même substitution linéaire 



__ax -\- b ax^ -\- b axn—i + b 



X. — r, X^ ; ;, . . . Xn j j, 



ex -\- a cx^ -\- a cxn—i-\-d 



on a 



AnX + Bn 



Xn 



CnX -i- D, 



M. d'Ocagne donne une solution directe du problème qui consiste 

 à déterminer A»,, Bn, Cn, Dn. 

 Si l'on pose : 



a + d:=z\, bc-ad = ii^ Un= V O' ,.^„^*' a''~^''"^'\ 

 on a les formules : 



An = aUn -j- \JMn-[, Bn =Z bUn, 



Cn = CU„, Dn = dUn -jr '^Mn — { . 



Si, au lieu d'êlre constants, les coefficients des substitutions se 

 reproduisent périodiquement, les quantités A, B, C, D, sont don- 

 nées par des formules récurrentes de la forme : 



Un/,- + /=: LU(n— l)/.- + i -\- MU(n — 2)yt + /, 



L et M étant des quantités dont M. d'Ocagne enseigne à former 

 l'expression. 



La loi de récurrence'est la même pour les coefficients A, B, C, 

 D, pris de k en k à partir de l'un quelconque des termes de la 

 première période : c'est ce qui résulte des expressions de L et 

 de M. 



