ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 1165 



Remarques sur les lignes asymptotiques des surfaces réglées, dont 



LES génératrices APPARTIENNENT A UNE CONGRUENCE LINÉAIRE, par 



M. BiociiE. [Bulletin de la Soc. mathématique, t. XIX, 1891, 

 p. 39-42.) 



Si une surface réglée admet deux directrices reclilignes, elle 

 se déduit par homographie d'un conoïde. La classe de ses asymp- 

 totiques et leur ordre s'expriment par le même nombre. Si p et 

 q sont les degrés de multiplicité des deux directrices, d étant le 

 nombre des génératrices doubles, le degré de la surface est p -\- q ; 

 le degré et la classe des asymptotiques sont égaux à 2 [pq — d]. 

 Ce résultat met en défaut une assertion d'Halphen, d'après 

 laquelle la classe des asymptotiques est égale à six fois l'excès de 

 leur degré sur celui de la surface. 



Les surfaces gauches dont les génératrices font partie d'une 

 congruence linéaire singulière ont pour équation : 



..■-,«, = F g) 



Leurs asymptotiques sont les courbes les plus générales qui 

 admettent un axeanharmonique, c'est-à-dire telles que les points 

 où une droite D est rencontrée par les plans osculateurs menés 

 en quatre points quelconques ont même rapport Enharmonique 

 que les plans passant par D et par ces points. 



Sur LES SURFACES GAUCHES DONT LES LIGNES DE COURBURE POSSÈDENT 



UNE PROPRIÉTÉ DONNÉE, i^SiV M .BiociiK. [Bulletin de la Soc. mathé- 

 matique, t. XIX, 1891^ p. 42-44-) 



L'auteur appelle surfaces S les surfaces réglées dont le para- 

 mètre de distribution est constant et dont la ligne de striction 

 est ligne de courbure. Il montre que si un système de lignes de 

 courbure d'une surface réglée possède une propriété exprimable 

 par une équation différentielle du premier ordre en r (distance 

 d'un point d'une génératrice à son point central), la surface est 

 une surface S, à moins que cette équation ne se réduise à une 

 identité. De là résulte le théorème suivant : Les seules surfaces 

 dont un système de lignes de courbure soit composé de trajec- 

 toires sont la surface gauche de révolution et l'hélicoïde mini- 

 mum. 



