ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 129 



à laquelle se ramène toute équation différentielle du second ordre 

 à coefficients rationnels en x et y. 



M. Appell commence par traiter le cas simple où les fonctions >[/ 

 et <p ne dépendent que de la variable x. Par un changement de 

 variables, ii ramène l'équation à une autre de la même forme 



dans laquelle le point oo est un pôle ou un point ordinaire de l'in- 

 tégrale. Il est ramené du même coup à chercher les intégrales de 

 la forme 



fix(t)dt 



z = e-' , 



où la fonction rationnelle tir (t) s'annule pour t = oo. Voici les con- 

 clusions auxquelles il est conduit. Pour qu'il existe de pareilles in- 

 tégrales, les infinis àef(t) doivent être d'ordre pair, excepté cer- 

 tains d'entre eux qui peuvent être du premier ordre. Les pôles 

 d'ordre pair, au nombre de n , sont pôles d'ordre moitié moindre de 

 la fonction inconnue Wft)'; ils donnent lieu à des fractions simples 

 dont les numérateurs sont fournis par des équations qui admettent 

 deux systèmes de solutions. Les pôles simples de/(t), au nombre 

 de ri, sont aussi pôles simples de t*r(j); les résidus correspondants 

 sont tous égaux à l'unité. Enfin -sr (f) peut devenir infini du premier 

 ordre en n" points autres que les infinis de/(t); ces infinis ont 

 tous pour résidu 1. Si l'on appelle A x l'un des résidus corres- 

 pondants aux n pôles dont nous avons parlé en premier lieu, la 

 somme 



doit être égale à — n" ou k 1 — n"; il faut donc que cette somme 

 compte, parmi les 2 n déterminations dont elle est susceptible, des 

 valeurs entières négatives ou nulles. Si cette condition est réalisée, 

 on formera les fonctions & (t) correspondantes, contenant n" frac- 

 tions simples dont les infinis sont encore indéterminés, et l'on es- 

 sayera chacune de ces fonctions ts (t) pour vérifier l'équation 



Bévue des tiuv. scient. — T. IV, n° 2. <) 



