130 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Cette analyse détaillée nous dispense d'insister sur le cas plus 

 général de l'équation 



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pu les variables x et y sont liées par une relation algébrique 

 F (a?, y) = o, du degré m et du genre j». Tous les points critiques 

 sont supposés du second ordre; on sait que Ton peut, par une sub- 

 stitution rationnelle, ramener le cas général à ce cas particulier. 

 On trouvera dans le mémoire de M. Appell les résultats d'un calcul 

 analogue à celui du cas précédent, mais nécessairement plus com- 

 pliqué. La démonstration repose sur l'expression analytique d'une 

 fonction rationnelle de deux variables x et y, dont on connaît les 

 infinis et la valeur en un point, expression que M. Lindemann a 

 déduite de la formule de Rocli. 



Dans ce qui précède, le genre de la courbe F est supposé plus 

 grand que zéro. Lorsque la courbe est unicursale, on ramène l'équa- 

 tion différentielle à la forme précédemment étudiée jiï = zf(t), en 



remplaçant x et y par leurs valeurs en fonction rationnelle d'un 

 paramètre. Lorsque le genre est égal à 1, on peut la ramener à une 

 équation différentielle du second ordre à coefficients uniformes 

 doublement périodiques. La méthode de M. Appell conduit dans ce 

 cas à l'intégration d'une classe nouvelle d'équations différentielles 

 linéaires du second ordre à coefficients doublement périodiques, 

 qui donnent comme cas particulier celles de M. Fuchs (J. de Liou- 

 ville, 1878) et les équations du second ordre comprises dans la 

 classe étudiée par M. Picard. 



L'auteur passe ensuite à l'équation d'ordre quelconque 



SM^ 



Après avoir indiqué sommairement la marche à suivre dans le cas 

 général, il applique sa méthode, avec tous les développements 

 qu'elle comporte , à l'équation du troisième ordre 



4 B-tm 



