ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 135 



ramètres; les paramètres e représentent les valeurs qu'on déduit de 



l'équation F (m, U) = o pour le rapport ry quand lun des termes de 



ce rapport ou tous les deux deviennent infinis, les paramètres c re- 

 présentent les valeurs qu'on déduit de cette équation pour la dérivée 



-tjj quand U est nul. De la définition de ces quantités résultent trois 



théorèmes qui correspondent aux trois formes différentes que peut 

 présenter l'équation F (m, U) = o, et qui permettent de caractériser 

 une intégrale abélienne quelconque comme intégrale de première, 

 de seconde ou de troisième espèce. 



Après ces préliminaires vient un chapitre intitulé : Sur un cas 

 de réduction des intégrales abéliennes. Quant une fonction u est 



ou 



liée à sa dérivée U=-r- par une équation algébrique F (m, U) = o, 



cette fonction admet en général une infinité de valeurs en chaque 

 point. Dans leurs importantes recherches sur la théorie des fonctions , 

 MM. Briot et Bouquet se sont occupés du cas où la fonction n'a en 

 chaque point qu'un nombre limité de valeurs, et ils ont prouvé 

 qu'alors elle est racine d'une équation algébrique ayant pour coeffi- 

 cients des fonctions entières soit de la variable z , soit de l'exponen- 

 tielle e pz , soit de la fonction doublement périodique sn (pz); M. Raffy 

 s'est posé ce problème : supposant que l'intégale u d'une équation 

 différentielle algébrique F («*, U)=o n'a en chaque point qu'un 

 nombre limité de valeurs, reconnaître si elle est algébrique, sim- 

 plement périodique ou doublement périodique. En voici la solution : 

 si l'intégrale est doublement périodique , les paramètres c et c sont 

 tous nuls. Si l'intégrale est algébrique , un au moins des paramètres 

 c et c est infini , et aucun d'eux n'est fini et différent de zéro. Si 

 l'intégrale est simplement périodique, les paramètres c et c sont 

 tous finis, mais non pas tous nuls, et ceux qui ne sont pas nuls 

 forment une suite de nombres tous commensurables entre eux. 



On trouve ensuite, pour le cas où l'intégrale u serait algébrique, 

 une détermination nouvelle du degré de l'équation intégrale par 

 rapport à u. La fin du chapitre est consacrée au cas où l'équation à 

 intégrer représente une courbe unicursale. M. RafTy montre com- 

 ment on obtient alors l'équation intégrale , et résout en passant ce 

 problème : Etant donnée une fraction rationnelle dont tous les ré- 

 sidus sont commensurables entre eux, trouver son intégrale sans 

 connaître ses infinis. 



