136 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Au chapitre suivant il aborde ie problème de la détermination 

 du genre des courbes algébriques. La question est traitée d'une 

 manière purement analytique, en partant du célèbre théorème de 

 Riemann qui s'exprime par l'égalité 



2 (p -j- m — 1 ) — 2 (r — i ) , 



lorsqu'on désigne par p le genre et par r le nombre des racines 

 qui forment l'un des systèmes circulaires relatifs à un point critique 

 de la fonction y , définie par l'équation de la courbe d'ordre m. Ainsi 

 la détermination du genre revient à celle du nombre 2 (r — î). La 

 méthode de M. Raffy permet d'obtenir ce nombre 2 (r — î) et par 

 suite le genre, sans qu'il soit nécessaire de connaître les points cri- 

 tiques de la fonction y ni les valeurs qu'elle prend en ces points. 

 Cette méthode, que nous ne pouvons exposer ici, est absolument 

 générale; elle s'applique, quelles que soient les singularités de la 

 courbe proposée, et si elle paraît exiger parfois des calculs très 

 longs, elle permet toujours de profiter des simplifications qui peu- 

 vent se présenter dans les exemples qu'on a à traiter. 



11 faut rapprocher de la recherche du genre la discussion des 

 caractères auxquels on reconnaît qu'une fonction liée à sa dérivée 

 par une équation algébrique est une fonction uniforme, caractères 

 qui ont été découverts par MM. Rriot et Rouquet. Les procédés que 

 M. Raffy indique pour appliquer, quelle que soit l'équation diffé- 

 rentielle proposée, les conditions assignées par MM. Rriot et Rou- 

 quet rappellent ceux dont il a fait usage pour déterminer le genre 

 des équations algébriques. C'est qu'en effet il existe entre les deux 

 questions un lien étroit, qui a été aperçu par M. Hermite. Si l'inté- 

 grale u d'une équation différentielle algébrique F(w, U) = o est 

 uniforme, cette équation est du genre zéro ou du genre î. Cette re- 

 marque profonde a suggéré à M. Raffy une nouvelle solution du 

 problème qu'il expose en terminant. 



