204 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



p fc .,=p fc p,y ? — fe). (^/), 



^à{a k -x i ){ai-x i )<p (x^ <* 

 i — 1 



35 fonctions P^ m , 



^^{a k -x i ){ai-x i ){a m -x i )(p (xi) -^ ^ 



i — i 



en posant 



R (#) = 1CMmn n v {d k — x) , 



(p (x) = (x — x l )(x — x 2 )(x — x 3 ). 



Toute relation algébrique entre les fonctions P peut, par l'intro- 

 duction de P , être immédiatement rendue homogène et donne par 

 suite une relation entre les fonctions 0. On peut avec les fonctions P 

 former soixante-quatre groupes de fonctions tels qu'entre les carrés 

 de cinq fonctions appartenant à un même groupe, existe une rela- 

 tion linéaire. Ces groupes appartiennent à quatre types qui, en 

 n'écrivant que les indices des fonctions P, ont les caractéristiques 

 suivantes : 



I 







k 



l 



m 



n 



P 



q 



V 



II 







h 



kl 



km 



kn 



kp 



kq 



kr 



III 



k 



l 



M 



Mm 



Mn 



Mp 



Mq 



kir 



IV 



Mm 



npq 



pqr 



qrn 



mp 



Im 



mk 



M 



On peut désigner ces groupes sous les noms de groupe o, groupe k, 

 groupe kl, groupe Mm. Une permutation quelconque effectuée sur 

 les lettres k, Z, m, n, p, q,r transforme en général un groupe d'un 

 type en un autre groupe du même type. Par ces permutations on 

 obtient pour les différents types respectivement un, sept, vingt et 

 un et trente-cinq groupes. Les limites de cette analyse ne nous per- 

 mettent pas de donner la forme des différentes relations corres- 

 pondant aux différents groupes. 



En ce qui concerne encore les relations linéaires entre les carrés , 

 M. Brunel montre comment on peut, directement et sans l'emploi 

 des formules signalées précédemment, trouver des relations linéaires 

 où apparaissent les carrés des fonctions données. 



Passant maintenant aux relations linéaires entre les produits de 

 deux fonctions P , on reconnaît l'existence de neuf types différents. 

 Désignant simplement par ses indices une fonction P et séparant 



