ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 205 



par un point les indices des facteurs du produit, on peut former le 

 tableau suivant : 





k.lm 



l.mk 



m. kl 



o.klm 







kl.mn 



km.nl 



kn.lm 



o.pqr 







k . Imn 



l.mnk 



m.nkl 



n.klm 







kl . kmn 



km . knl 



kn . klm 



k.pqr 







klm . knp 



kln . kpm 



klp . kmn 



k.qr 





LU 



m. km 



n.kn 



p.kp 



q.kq 



r.kr 



kq . kr 



Iq.lr 



mq.mr 



nq.nr 



pq.pr 



q.r 



k . kqr 



l.lqr 



m . mqr 



n.nqr 



p.pqr 



o.qr 



kln. kmn klp.kmp klq.kmq klr.kmr kl. km l. 



m 



Trois des produits appartenant à une même ligne horizontale 

 dans le cas des cinq premiers types, quatre de ces produits s'il 

 s'agit des quatre derniers types, sont linéairement reliés entre eux. 



Choisissant a priori les fonctions de base 



* Mm XMp") "kh\ ^kmn^ *kmpi *kmqï *-rî *npq-> 



les carrés des cinquante-six autres s'expriment linéairement au 

 moyen des carrés de ces huit fonctions. De plus, P 2 r et V 2 npq s'ex- 

 priment rationnellement en fonction des six autres. Enfin, entre 

 ces six dernières, existent deux relations homogènes du quatrième 

 degré en tout point analogues aux relations de Gôpel. La dépen- 

 dance algébrique des soixante-quatre fonctions hyperelliptiques et 

 par suite des soixante-quatre fonctions O se trouve donc établie 

 d'une façon précise et complète. 



MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS HYPERGEOMETRIQUES 1)' ORDRE SUPERIEUR, 



par M. Goursat. (Annales de V École normale supérieure, 1 8 8 3 , 

 p. 261.) 



Le mémoire de M. Goursat a pour objet les séries ordonnées 

 suivant les puissances ascendantes et positives d'une variable, dans 

 lesquelles le rapport de deux coefficients consécutifs est une fonc- 

 tion rationnelle du rang de l'un d'eux. Il commence par la dé- 

 monstration d'un théorème général sur les intégrales régulières de 

 l'équation différentielle linéaire à coefficients uniformes. Pour 



