206 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



qu'une équation linéaire admette une intégrale holomorphe dans le 

 domaine du point singulier x = a, et que cette intégrale, ainsi que 

 ses p — 1 premières dérivées, puisse être prise arbitrairement 

 pour x = a, il faut que cette équation soit de la forme 



+ Q m {x)y. 



Réciproquement, toute équation de cette forme admettra une inté- 

 grale holomorphe dans le domaine du point a, et les valeurs de 

 cette intégrale ainsi que de ses p — 1 premières dérivées pour- 

 ront être prises arbitrairement pour x = a, si l'équation 



<P(r)= (r—p) . . . (r — m-\- 1) — Q l (a)(r—p) . . . (r — m-)- 2) 

 — • . . — Qm-jp(a) = 



n'admet aucune racine supérieure à p— 1. Si, dans le théorème 

 de M. Goursat, on fait successivement p = m et p= 1, on trouve 

 les deux propositions sur lesquelles M. Fuchs a fondé la théorie 

 des équations différentielles linéaires. Ce théorème donne en outre 

 le moyen de reconnaître dans quels cas tous les logarithmes dispa- 

 raissent des intégrales, bien que l'équation déterminante relative à 

 un point critique admette un groupe de racines dont les différences 

 sont des nombres entiers. 



Dans la seconde partie de son travail, l'auteur prouve qu'étant 

 données un — 1 quantités constantes, a x , a 2 , . . ., a n „ x , a n , b Y , 

 b 2 , . . ., &»_!, telles qu'aucune des quantités b{, bi~b p , ai—au, 

 h ~H ^2 + • • • + h - 1 — { a i + a 2 + • • • + a n) n e soit un nombre 

 entier, il existe une fonction multiforme de la variable x, jouissant 

 des propriétés suivantes. Entre n-\- 1 déterminations de la fonction 

 il existe une relation linéaire et homogène à coefficients constants. 

 Chaque branche de la fonction est holomorphe pour toute valeur 

 de x différente de o , 1 , 00. Dans le voisinage du point x = o , on 

 a les n déterminations linéairement indépendantes , 



rfa),#~K?,!Lx) x*-!>«-rP„{x), 



P 2 , P 2 , . . ., P„ étant holomorphes pour x = o. Dans le domaine 



