ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 207 



du point x=i, on a les n déterminal ions linéairement indépen- 

 dantes : 



Q!(*),Q 2 (*), ...,0 n _ t W, 



( 1 _^)&l + ^ + - + & n-l-«l--«2---%Q n (a7), 



Q x , Q 2 , . . ., Q„ étant holomorphes dans le domaine de ce point. 

 Enfin, pour #= — = oo, on a les n déterminations linéairement 

 indépendantes : 



X a lK. x {x), X a î\(x), . . ., X' a n\(x), 



R x , R 2 , . *. ., R tt désignant des fonctions holomorphes dans le voi- 

 sinage du point critique x'=o. Cette proposition revient à dire 

 que toute fonction jouissant des propriétés énoncées satisfait à une 

 équation différentielle linéaire qui est complètement déterminée. 

 Cette équation est de la forme 



• + ... +( H*_ K )*g + (L*-M)g + % = o, 



A,B, C, D, ,..,L,M, N étant in— 1 constantes dont les va- 

 leurs sont toujours données effectivement par un système d'équa- 

 tions du premier degré. Ces constantes étant en même nombre que 

 les paramètres a et 6, l'équation précédente est la plus générale de 

 son espèce. Mais, pour qu'une équation de cette forme admette un 

 système d'intégrales jouissant des propriétés énoncées, il faut que 

 ses coefficients vérifient les conditions d'inégalité imposées plus 

 haut aux paramètres a et b. 



M. Goursat signale ensuite les analogies de l'équation qu'il vient 

 d'obtenir avec l'équation différentielle d'Euler, que vérifie la série 

 hypergéométrique. Ces analogies résident dans la forme de la nou- 

 velle équation , qui pour n = 2 se réduit à l'équation d'Euler, et 

 dans la forme de ses intégrales qui sont les fonctions hypergéomé- 

 triques d'ordre supérieur. Dans la série entière qui représente aux 

 environs de l'origine l'intégrale holomorphe, le rapport du terme en 

 x m-\-i au | erme en x m ggj comme (t ans l a se ' r i e de Gauss une frac- 

 tion rationnelle dont les deux termes sont du même degré en m. 

 De plus, par les transformations bien connues qu'admet l'équation 



