272 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



très propre à séparer les unes des autres la plupart de ces courbes. 

 Aussi est-il essentiel de connaître d'abord ses diverses valeurs nu- 



menques. bon maximum est -; son minimum est 1 en- 

 tier contenu dans ( ) • Mais entre ce minimum et 



(*rï- 



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elle présente des lacunes, c'est-à-dire qu'elle n'est pas susceptible 

 de devenir égale à l'un quelconque des entiers compris dans cet 



intervalle; à partir de la limite -± ^ l a su it e des nombres 



h ne présente plus de lacunes. 



L'auteur se borne essentiellement aux courbes dépourvues de 

 points singuliers; mais on peut, comme il l'indique lui-même, s'af- 

 franchir de cette restriction, sans que la classification soit en rien 

 modifiée. Voici maintenant quelques-unes des importantes propo- 

 sitions qui résolvent le problème proposé. Nous en empruntons 

 l'énoncé presque textuel à la lumineuse introduction que M. Hal- 

 phen a placée en tête de son mémoire. 



Les courbes du degré d, ayant h points doubles apparents, 

 forment une seule famille si le nombre h est compris entre les 



j r -, p/x (d-i)(d-2) _, x (d-a)(d-3) , 



deux limites §(i) = - -, § (2)= ^ — — + t. 



Les courbes de degré d qui ont moins de -^ — points 



doubles apparents sont situées sur des surfaces du second degré; 

 ces courbes, que nous désignons par C 2 , forment autant de familles 



distinctes qu'il existe de valeurs de h au-dessous de -^ • 



Tant que h n'atteint pas cette limite, ces familles seules existent. 

 Quand il la dépasse, sans atteindre une autre limite <§(3), les 

 courbes G 2 composent des familles distinctes qui coexistent avec 

 d'autres, correspondant aux mêmes nombres d, h. 



A chaque nombre entier pris pour A, à partir de -S 11^ 



correspond une famille de courbes G 3 , situées sur des surfaces du 



troisième degré. Tant que h n'atteint pas la nouvelle limite " \ 



ces courbes G 3 existent seules conjointement avec les courbes C 2 . 

 Au delà, elles composent encore des familles distinctes, tant que h 

 n'atteint pas une autre limite § (h). Au delà de cette dernière, 

 elles ne sont plus que des cas particuliers. 



On entrevoit ainsi une loi de sélection, dont M. Halphen a 



