ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 271) 



les mêmes multiplicateurs w et œ sont en général ramifiées de la 

 même manière. Ces nouvelles fonctions comprennent comme cas 

 particulier les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur que 

 M. Goursat a définies dans son premier mémoire. On peut géné- 

 raliser la propriété de ces fonctions hypergéométriques. Soit comme 

 plus haut z une fonction multiforme de x jouissant des propriétés 

 déjà énoncées. Dans le voisinage des points critiques, on a n branches 

 qui ont respectivement les formes suivantes : 



pour a?-= o , 



(p 1 (^),/l9 2 (x), . .., X r n-l<p, n (x), 



pour x== i, 



*|/ r (#), %{%), . . ., $ n -y{x), (l —X) l{ $n(x), 

 1 



pour x= — = °° 



les fonctions (pj, 4% ^i étant holomorphes dans le domaine du point 

 correspondant. Supposons de plus qu'aucun des nombres R , r t - — %, 

 r 'i — r'h, ne soit entier. L'équation hypergéométrique correspond au 

 cas où les nombres R., r, r vérifient la relation 



2r + 2r' -|- R = w — î . 



M. Goursat démontre que l'intégrale générale d'une pareille 

 équation s'exprime toujours au moyen de séries hypergéométriques 

 d'ordre supérieur. 



Il applique ensuite ces résultats aux séries hypergéométriques de 

 Gauss dont le carré est une série hypergéométrique d'ordre supé- 

 rieur, et arrive à ce théorème : Pour que le carré d'une série hy- 

 pergéométrique ordinaire F (a, /S, 7, x) soit une série hypergéo- 

 métrique d'ordre supérieur, il faut, et il suffit, que 2(7 — a — /S) 

 soit un nombre entier positif impair. Le problème qui vient d'être 

 traité n'est qu'un cas particulier de celui-ci : Dans quels cas le 

 produit de deux séries hypergéométriques de Gauss est-il une série 

 hypergéométrique d'ordre supérieur? M. Goursat aborde cette 

 question générale et en donne la solution complète. Le produit 

 F (a, /3, 7, x)x F (a', /3', 7', x) est une série hypergéométrique 



