ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 349 



S 8. 



MATHÉMATIQUES. 



GÉnÉBALISATION DES FONCTIONS DOUBLEMENT PEBIODIQVES DE SECONDE 



espèce, par M. Appell. (Journal de mathématiques pures et appli- 

 3 e série, t. IX, p. 5, 1 883.) 



Soient x et y deux variables liées par une équation algébrique 

 F (x, y) = o représentant une courbe d'ordre m et de genre p. Les 

 fonctions que M. Appell étudie sont les fonctions O (#, y) du point 

 analytique (x, y) qui n'ont sur toute la sphère que des pôles et des 

 points critiques algébriques, à savoir les points critiques de la fonc- 

 tion y de x; de plus, ces fonctions se reproduisent multipliées par 

 un facteur constant, quand le point (x,y) décrit un cycle quel- 

 conque. Désignant par («(*)) la fonction de p variables formées 

 avec les périodes normales £l l k des intégrales abéliennes de pre- 

 mière espèce relatives à la courbe F = o, on a une première ex- 

 pression de la fonction 0(#, y) en prenant : 



Dans cette équation, R(#, y) représente une fonction ration- 

 nelle de x et y; A{, gi et k sont des constantes. Les p constantes b t 

 sont arbitraires; les 2p constantes Vet gi son t déterminées par les 

 équations suivantes qui expriment que la fonction <I> possède 2p 

 multiplicateurs donnés pi : 



f^2t- 1 ==: ^ î 



gi + 2 (Aia n - + A 2 a a î +• . .+ Apetpi) 



Cela posé , l'auteur se propose d'obtenir pour la fonction <D (x,y) 

 une formule de décomposition en éléments simples analogue à celle 

 que M. Hermite a donnée pour les fonctions doublement pério- 

 diques de seconde espèce. Il écarte d'abord le cas exceptionnel où 



