350 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



les constantes gi seraient nulles à des multiples près de périodes 

 conjuguées et prend pour élément de décomposition la fonction : 



i=p 



4(x 11 £ n\ — Ke i=1 ®[u®(x,y)-u(})(i;,v) + hi-gi] 



# K X,y,ç,.ny-M Q[u(i)(x,y)-uii)(^v) + hi] ' 



ou 



k =p - i 



k=t 



Cette fonction § admet les mêmes multiplicateurs que la fonc- 

 tion <D à décomposer; elle devient infinie du premier ordre aux p 

 points 



(Ç,v){x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )...(x P - l ,y P - i ). 



De ces p points, les p— i derniers (%, yu) sont entièrement 

 arbitraires; le premier seul (£, rj) est supposé, dans la formule de 

 décomposition que donne M. Appell, coïncider successivement avec 

 les infinis de la fonction O. La constante K qui figure dans l'ex- 

 pression de § est déterminée de manière que pour l'infini # = £ le 

 résidu de l'une des valeurs de § soit égal à l'unité. 



Le cas exceptionnel, écarté d'abord, est ensuite traité directe- 

 ment par l'auteur en s'appuyant sur la formule de Roch qu'a fait 

 connaître M. Lindemann. Dans ce cas, l'élément de la décomposi- 

 tion est la fonction : 



H = e " Z t -, 



Z t - désignant l'intégrale abélienne de seconde espèce dont le pôle se 

 trouve au point (§, rji)> 



De la formule générale qu'il a obtenue pour les fonctions O (#, y), 

 l'auteur déduit la formule de Roch pour la décomposition en élé- 

 ments simples d'une fonction rationnelle du point (a?, y), de même 

 que M. Hermite a déduit de la formule de décomposition des fonc- 

 tions doublement périodiques de seconde espèce celle des fonctions 

 périodiques ordinaires; puis il présente une nouvelle démonstration 

 de sa formule fondamentale, et indique le principe d'un autre 



