354 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Sue les unités complexes , par M. Kronecker. ( Comptes rendus , 

 t. XGVI, p. 9 3, iA8et2i6.) 



Dans trois communications successives l'illustre géomètre ré- 

 sume une partie de l'enseignement donné par lui à l'Université de 

 Berlin, pendant l'hiver de 1882. Le but qu'il poursuit dans ses 

 leçons est, d'une part, une classification des nombres et des fonc- 

 tions algébriques; de l'autre, une étude de leurs propriétés qui 

 permette de prolonger en quelque sorte et de développer les résul- 

 tats de la théorie élémentaire des nombres dans une arithmétique 

 supérieure, la plus générale possible, dont les données seraient, 

 non seulement les nombres rationnels, mais encore les fonctions 

 rationnelles, à coefficients entiers, d'un nombre fini quelconque 

 de variables, et les fonctions rationnelles d'un nombre fini quel- 

 conque de fonctions algébriques, les coefficients étant toujours sup- 

 posés entiers. 



Les communications de M. Kronecker développent et éclairent 

 diverses notes concises deDirichlet, particulièrement celle de 18^2 , 

 publiées dans les Monatsberichte : Généralisation d'un théorème concer- 

 nant les fractions continues et application à la théorie des nombres , dont 

 M. Kronecker montre la portée considérable. En développant les 

 idées qui y sont contenues, il a été conduit à une démonstration 

 nouvelle de la proposition fondamentale indiquée par Dirichlet en 

 18&6, à savoir que «si les valeurs absolues différentes des racines 

 de l'équation fondamentale sont en nombre h, on peut trouver 

 (h — 1) unités fondamentales». 



Dans le courant de sa démonstration, l'auteur résout complète- 

 ment une question qui avait été tranchée par M. Liouville dans un 

 cas particulier (Journal de mathématiques, t. XVI, p. i33), et qui 

 concerne la réduction approximative des équations irréductibles; il 

 est intéressant de noter que l'ordre de la réduction approximative 

 auquel on parvient ainsi dépend du degré de l'équation réduite, 

 tandis que la limite de l'ordre d'une réduction approximative quel- 

 conque dépend du degré de l'équation à réduire. 



Finalement, M. Kronecker établit la proposition suivante : 



Dans chaque espèce de nombres algébriques, il y a un nombre 

 infini d'unités ayant chacune, en valeur absolue, toutes ses conju- 

 guées, à l'exception de deux, comprises entre des limites finies. 



En utilisant ensuite les considérations développées dans sa thèse 



