ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 463 



L'un de ces groupes (E 1 ) résulte directement des valeurs de n 

 qui satisfont à la congruence ian = iid (mod. a 2 ), i variant de 1 à 

 l'infini, et les d autres (E^) de celles qui satisfont à l'équation 

 n^ïd-^Kd 2 , i' et K étant deux nombres entiers variant l'un, i\ 

 de o à d— i, l'autre, K, de i à l'infini. 



2° La famille (E) contient d(d— i) autres groupes semi-régu- 

 liers (Ed') déterminés par les valeurs n^j -\-Kdr,j prenant toutes 

 les valeurs entières de i à d(d — i), à l'exception de celles qui 

 sont égales à »"*?, ces multiples de d étant déjà tous affectés aux 

 groupes réguliers (E^). 



Dans les groupes (Ed'), les périodes ne sont pas uniformes, 

 mais le nombre des termes qu'elles ont en commun croît de 

 quelques unités dans cbaque groupe, chaque fois que K atteint 

 une des valeurs résultant de l'expression K = ld sr où l et r sont des 

 entiers quelconques. Chaque groupe (E«r) donne ainsi naissance 

 à une infinité de sous-groupes, dans chacun desquels le nombre 

 des termes communs à la branche initiale et à la branche finale de 

 la période est constant et croît, sans limites, d'un sous-groupe à 

 celui qui le suit dans la série ascendante. 



3° Enfin, pour toutes les autres valeurs de w, les périodes n'ont 

 en commun que les ternies (trois au moins) dont il a été question 

 au théorème précédent et qui se rencontrent aussi dans les groupes 

 (E x ), (Ed), (E d ) aux mêmes places par rapport aux termes ex- 

 trêmes. Pour tout le reste, elles sont indépendantes les unes des 

 autres. 



Ce théorème se double d'un théorème analogue concernant les 

 périodes des familles 



(E) = b~n 2 -en. 



M. de Jonquières développe aussi la loi de formation des réduites 

 des nombres du type 



E = «ra 2 -\-dn, 



il montre en particulier comment les termes communs à chacune 

 des deux branches des périodes des nombres E ne sont autres que 

 les quotients obtenus en faisant l'opération du plus grand commun 

 diviseur sur les nombres 2 a et d. 



Dans les théorèmes précédents, on a supposé qu'on avait affaire 



