ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 469 



Sur les équations aux dérivées partielles, par M. Darboux. 

 (Comptes rendus, t. XGVI, p. 766; i883.) 



Considérons une équation aux dérivées partielles définissant 

 une fonction z de plusieurs variables indépendantes. Si Ton rem- 

 place z par z -f- sz que l'on développe suivant les puissances de s 

 et que Ion égale à zéro le coefficient de s, on obtiendra une équa- 

 tion linéaire aux dérivées partielles en z\ à laquelle M. Darboux 

 donne le nom d'équation auxiliaire. Il montre le parti qu'on peut 

 tirer de la considération de cette équation dans diverses questions : 



Chercher les surfaces infiniment voisines d'une surface 2 qui 

 forment avec 2 un système triplement orthogonal; ou bien, trou- 

 ver les surfaces admettant la même représentation sphérique que la 

 surface 2 ; ou bien , trouver tous les cercles normaux à une famille 

 de surfaces dont fait partie la surface 2. 



Rechercher les surfaces applicables sur une surface 2 et infini- 

 ment voisine de 2. 



Ce dernier problème revient à la transformation par orthogona- 

 lité des éléments , problème posé par M. Moutard. 



Sur l'application des intégrales elliptiques et ultra-elliptiques 



A LA THÉORIE DES COURBES UNICURSALES , par M. LiAGUERRE. {Comptes 



rendus, t. XCVI, p. 769; i883.) 



Si Ton considère une courbe unicursale comme enveloppe de la 

 droite xf(t) + y<P(t) + 0(t) = o,oùf(t), (p(t), ô(t) sont des po- 

 lynômes, l'expression de la distance d'un point quelconque du plan 

 à la tangente au point t contiendra le radical 



en mettant en évidence, s'il y a lieu, la partie rationnelle P (t). Si 

 F (t) n'est pas une constante, la courbe, d'après la terminologie de 

 M. Laguerre, doit être regardée comme double; en chaque point on 

 peut mener deux semi-droites opposées qui lui sont tangentes; tel 

 est le cas des coniques. F (t) est alors du quatrième degré; les co- 

 niques, regardées comme enveloppes de semi-droites, sont du genre 

 un. 



Une tangente étant donnée , en position et direction , il lui cor- 

 respond une valeur de t et un signe déterminé du radical. 



