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Si Ion détermine chaque tangente à ia conique H par l'argument 

 d'une fonction elliptique, la condition nécessaire et suffisante pour 

 que quatre tangentes touchent un même cycle consiste en ce que la 

 somme des arguments soit congrue à zéro, suivant les deux pé- 

 riodes de la fonction. 



M. Laguerre, dans le même ordre d'idées, développe diverses 

 propositions et étend les mêmes considérations aux intégrales ultra- 

 elliptiques. 



DÉMONSTRATION DU THEOREME FONDAMENTAL DE LA THEORIE DES EQUA- 

 TIONS algébriques, par M. Walecki. (Comptes rendus, t. XCV1, 



p. 772; i883.) 



Voici le nœud de la démonstration proposée par M. Walecki : 

 Soit/(a?) = o une équation du degré ip, p étant impair, à coef- 

 ficients réels; pour prouver qu'elle admet une racine, on met 

 d'abord f(x) sous la forme 



par la substitution x = y-\- z ; le résultant des deux équations 



est du degré impair p(zp— 1) par rapport à y; ce résultant admet 

 une racine réelle : en la substituant dans les équations précédentes, 

 ^(z 2 ) seul peut devenir identiquement nul; alors <P(z 2 ) étant de 

 degré impair p en z 2 , admet une racine réelle en z 2 . Si $ n'est pas 

 identiquement nul, (p et ^ ont un diviseur commun, etf(x) est 

 décomposable en un produit de deux facteurs; ou l'un de ces fac- 

 teurs sera de degré impair, ou bien l'un de ces facteurs sera impai- 

 rement pair %p\ p' étant inférieur à^, etc. 



Si le degré m àef(x) est égal à tfp,p étant impair, on fera la 

 même transformation 



et l'on verra que le résultat de (p et de $ est de degré tf-^p^p— 1) 

 en y, la parité est en quelque sorte diminuée d'une unité; en ad- 

 mettant l'existence d'une racine pour une telle parité, on complé- 

 tera sans difficulté la démonstration. 



