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Sur les séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une 

 variable, par M. André. (Annales de l'Ecole normale supérieure, 

 i883,p. 287.) 



Ce mémoire contient la solution d'un problème très général re- 

 latif aux séries. Connaissant la somme/(#) de la série entière 



u -\~. u } x -f- u 2 x 1 -f- u 3 x 3 -\- . . . , 



il s'agit d'en déduire la somme G(x) de la série* 



u v x -f- u x v x x -|- u 2 v 2 x 2 -\- u 3 v 3 x 3 -\- . . . , 



obtenue en multipliant les termes successifs de la première par les 

 termes de même rang d'une série récurrente proprement dite. 

 M. André avait autrefois traité ce problème, dans trois cas particu- 

 liers, par des moyens plus ou moins compliqués. Un procédé plus 

 simple et pourtant plus puissant lui permet cette fois de le ré- 

 soudre dans sa pleine généralité. Voici le résultat de cette belle 

 analyse. Si l'on désigne par r l'une quelconque des racines de 

 l'équation génératrice de la série récurrente, par p son degré de 

 multiplicité, on peut donner à G(x) la forme d'une somme de 

 séries partielles G r (x), en nombre égal à celui des racines distinctes: 

 la série G r (x) est donnée par la formule 



G r (x) = Q r ,J(rx) + Q r , 1 rxf(rx)+... 

 + Q r , p - 1 rP- 1 xP-\f(p- 1 Xrx). 



Les coefficients Q r ont la signification suivante : le terme v r de la 

 série récurrente proprement dite est un polynôme en n du degré 

 p — 1, entièrement connu par hypothèse. En appliquant une re- 

 marquable formule du calcul des différences finies, due à J.-F.-W. 

 Herschell, on peut mettre ce polynôme sous la forme 



fl„=Qr,o+Qr,iW+Qr, a w(w — l)+ . .. 



+ Qr,p- l n(n — ±)(n — 2) . . . (w — p+ 2). 



Ce dernier développement achève de résoudre le problème en fai- 

 sant connaître la valeur des coefficients Q r . 



M. André fait ensuite l'application des résultats obtenus à des 

 exemples variés. Il termine par une remarque importante sur la 



