ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 483 



leur fait usage de la notion d'alternances ; P -j— Q — (— H — |— S — f- . . . 

 désignant une suite quelconque de ternies, il appelle nombre des 

 alternances de cette suite le nombre des variations de la suite 



P,P + Q,P + Q+R,P + Q + R + S,... 



Cette définition lui permet d'énoncer d'une manière simple un 

 théorème qui donne une limite supérieure du nombre des racines 

 d'une équation algébrique qui sont ou supérieures ou inférieures à 

 un nombre positif a. Il suffît de substituer a à x dans le polynôme 



F(#)=A* a +B^ + C^+.. . -f Lr A 



qui forme le premier membre de l'équation proposée, et de compter 

 les alternances de la suite 



ka a + B/-f Ca? +. . . + La x . 



Les exposants a, /3, y. . . sont des nombres réels qui peuvent être 

 positifs ou négatifs, entiers, fractionnaires ou incommensurables. 

 Le nombre des alternances de la suite précédente est une limite su- 

 périeure du nombre des racines supérieures à a ou du nombre des 

 racines inférieures à a, suivant que le polynôme F (a?) est ordonné 

 par rapport aux puissances décroissantes ou croissantes de la va- 

 riable. Dans l'un et l'autre cas, si ces deux nombres diffèrent, leur 

 différence est paire. 



Le théorème suivant suppose que le premier membre de l'équa- 

 tion/^) -=m o est un polynôme entier : a et h étant deux, nombres 

 quelconques positifs ou négatifs, îe nombre des racines de l'équa- 

 tion/'^) = o, qui sont comprises entre a eta-\-h, est au plus égal 

 au nombre des alternances de la suite 



f { a) + hf(a) + J^f( a ) + ... 



et, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre 

 pair. Ce théorème n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'une pro- 

 position plus générale, qu'on trouvera dans le mémoire de M. La- 

 guerre, et qui comprend le théorème de Budan. Jl s'agit ensuite 

 d'obtenir le nombre des racines de l'équation/(#) = o, supérieures 

 à un nombre positif a, avec la plus grande approximation possible. 



