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L'auteur démontre à ce sujet un théorème, dont les limites de cette 

 analyse nous interdisent de reproduire l'énonce'. L'application de 

 ce théorème se fait de la façon la plus simple dans le cas où a est 

 égal à l'unité, cas auquel se ramène aisément le cas général par un 

 changement de variables, et en faisant usage d'un algorithme em- 

 ployé déjà par Horner et Budan. La proposition dont nous parlons 

 conduit naturellement M. Laguerre à la suivante : z désignant un 

 nombre positif, le nombre V des variations que présente le déve- 

 loppement de e zx f(x) suivant les puissances croissantes de x ne 

 peut que diminuer, quand z augmente, et il est au moins égal au 

 nombre p des racines positives de l'équation/(#) = o. On peut 

 alors se demander si pour des valeurs suffisamment grandes de z, 

 V sera précisément égal à p. M. Laguerre montre qu'on doit ré- 

 pondre affirmativement à cette question. De là résulte une méthode 

 entièrement différente de celles de Lagrange et de Sturm pour dé- 

 terminer exactement le nombre des racines positives d'une équation 

 algébrique. 



Bien que ce procédé soit peu pratique, l'auteur croit devoir le 

 mentionner, eu égard au petit nombre de méthodes qui permettent 

 de résoudre ce problème. 



M. Laguerre aborde ensuite les équations de la forme 



f(x)=k 1 F(x l x)-\-k 2 F(a 2 x)+-. . . +A ft F(a„ a)=o, 



où F(x) est une série indéfinie ordonnée suivant les puissances 

 croissantes de a?, dans laquelle on suppose tous les coefficients po- 

 sitifs ou nuls, le premier étant différent de zéro. Si les quantités 

 «j, . . . , k n sont positives et rangées par ordre de grandeur décrois- 

 sante, le nombre des racines positives de l'équation f(x) = o est 

 au plus égal au nombre des alternances de la suite A x + A 2 -j- A 3 

 + ... + A,. 



Parmi les séries du type F (a?), l'exponentielle présente un inté- 

 rêt tout spécial. L'équation f(x) = o devient alors, lorsqu'on y fait 

 croître les coefficients «j, a 2 ,.;. . ot„ par degrés égaux et insen- 

 sibles, 



' è - zœ 



e Ç(z)dz=o, 



/ 



<p(z) désignant une fonction entièrement arbitraire. Le résultat gé- 



