680 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



les intersections des bissectrices intérieures avec les trois côtés du 

 triangle ABC. La probabilité cherchée est donc : 



surf. A'B'C Qftfcc 



surf. ABC ^ (a + b)(a + c)(b + c) ' 



Sur la réduction du nombre des périodes des intégrales abéliennes, 

 et, en particulier, dans le cas des courbes du second genre, par 

 M. Picard. (Bull, de la Soc. math., t. XI, p. i3; i883.) 



La première partie du mémoire est consacrée au problème géné- 

 ral de la réduction du nombre des périodes. 



M. Picard démontre le théorème suivant : 



Si, parmi les p intégrales abéliennes relatives à une courbe de 

 genre p, il y en a a (q<p) ayant seulement iq périodes, savoir 

 u Y (#), u 2 (x),. . . , u q (x), les a fonctions # x , # 2 ,. . ., x q résultant 

 de Finversion de ces intégrales sont racines d'équations algébriques 

 ayant pour coefficients des fonctions uniformes de z Y , z 2 ,. . ., z q 

 avec <zq systèmes de périodes, en posant : 



Zi = u i (x 1 ) + u i (x 2 )-\- . . . +Ui(x q ), (i=i, 2, . . ., q). 



De plus, ces fonctions iq fois périodiques pourront s'exprimer à 

 l'aide des fonctions S de q variables indépendantes. 



Dans la seconde partie, Fauteur traite des courbes du second 

 genre et résout ce problème : 



Étant donnée l'équation 



y 2 = R(x) =x (1 — x)(i —k 2 x)(i — l 2 x) (1 — m 2 x), 



trouver les expressions générales de & 2 , P, m 2 , telles qu'il existe 

 une intégrale de première espèce relative à cette courbe et n'ayant 

 que deux périodes. 



Dans la solution intervient un entier arbitraire D. En lui don- 

 nant la valeur 2 , M. Picard retrouve un résultat de Jacobi. 



H montre que si, pour une courbe donnée du second genre il 

 existe une intégrale n'ayant que deux périodes, il en existera néces- 

 sairement une seconde. Dans certains cas particuliers, il peut arri- 

 ver qu'il n'y ait pas seulement deux intégrales, mais une infinité, n'ayant 

 que deux périodes. 



