

ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 683 



i° Si les deux cercles n'ont aucun point commun, le développe- 

 ment (1) n'est possible que d'une manière. 



2° Si les deux cercles se coupent ou se touchent, le développe 

 ment (î) est possible d'une infinité de manières; il existe une infi 

 nité de séries de la forme (î) ayant pour somme zéro. On peut 

 donc ajouter une pareille série S (x) au développement (î) sans 

 que ce développement cesse de représenter f(x). 



Mêmes remarques, dans le cas où les deux cercles G et G' ne 

 sont pas entièrement extérieurs l'un à l'autre ; alors toute fonction 

 f(x) holomorphe aux points situés à la fois à l'intérieur du 

 cercle G et à l'extérieur du cercle G' est développable en série de 

 la forme : 



* = oo A , 



Ces remarques s'étendent aux cas d'un nombre quelconque de 

 cercles. 



DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE ClAUSEN ET DE StaUDT SUR LES tfOMBRES 



de Bernoulli, par M. E. Lucas. (Bull, de h Soc. math., t. XI, 

 p. 69; i883.) 



On a pour les nombres de Bernoulli l'expression : 



D * — An 2 a p A' 



dans laquelle A , Â 1 , A 2 , . . ., A n désignent des nombres entiers 

 et 2, a, /3, . . ., X tous les nombres premiers qui surpassent de 

 l'unité tous les diviseurs de n. 



M. Lucas donne de ce théorème une démonstration directe, 

 fondée sur les théorèmes de Fermât et de Wilson, et sur la mé- 

 thode de sommation des puissances , due à Fermât. 



Sur deux séries nouvelles qui expriment le sinus et le cosinus 

 d'un arc donné, par M. David. (Bull de la Soc. math^ t. XI, 

 p. 72; i883.) 



Ces séries qui mettent en évidence, dans les numérateurs de 



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