ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 687 



Sur les équations différentielles linéaires du quatrième ordre, 

 dont les intégrales vérifient une relation homogène du second degré, 

 par M. Goursàt. {Bull, de la Soc. math., t. XI, p. îkk; i883.) 



M. Fuchs a montré que, si les intégrales d'une équation diffé- 

 rentielle linéaire du troisième ordre à coefficients rationnels véri- 

 fient une relation homogène du second degré, ces intégrales sont 

 les carrés des intégrales d'une équation du second ordre à coeffi- 

 cients rationnels. 



M. Goursat commence par retrouver cette proposition en suppo- 

 sant les coefficients de l'équation du troisième ordre fonctions uni- 

 formes d'un point analytique. Puis il étudie les cas de réduction 

 analogues que présente l'équation linéaire du quatrième ordre, en 

 supposant que les coefficients soient uniformes; mais ses résultats 

 subsistent, quand ce sont des fonctions uniformes d'un point ana- 

 lytique. 



Deux cas sont à distinguer, suivant que la relation quadratique 

 considérée contient effectivement quatre intégrales, et alors on 

 peut l'écrire 



ou qu'elle n'en contient que trois, et prend conséquemment la 

 forme 



Ui 2 = U 2 U 3 . 



Dans le premier cas, les intégrales de l'équation du quatrième 

 ordre sont les produits des intégrales de deux équations linéaires 

 du second ordre dont les coefficients sont racines d'équations qua- 

 dratiques à coefficients uniformes. 



Dans le second, l'équation du quatrième ordre (qui n'est pas 

 irréductible) admet comme intégrales les carrés des intégrales d'une 

 équation linéaire du second ordre à coefficients uniformes. 



Mais on peut aussi supposer que les intégrales de l'équation du 

 quatrième ordre vérifient deux relations homogènes et du second 

 degré. Ces quatre intégrales sont alors les coordonnées homogènes 

 d'un point d'une biquadratique gauche. De même que dans les 

 problèmes précédents il s'agissait de trouver les substitutions qui 

 font revenir sur elle-même une surface du second degré, la ques- 

 tion est ici de chercher les substitutions qui font revenir sur elle- 

 même une biquadratique gauche. 



