ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 691 



une partie du plan à contour simple, les intégrales définies 



/ l F(z)dz relatives aux différentes lignes qui vont de z à z dans 

 cette partie du plan , sont égales. 



Sur la théorie des résidus biquadratiques , par M. Stieltjes. 

 (Bull, des se. math., a* série, t. VII, p. 189; i883.) 



On sait que Gauss a déterminé le caractère quadratique du 

 nombre 1 -\-i p ar rapport à un nombre premier M, L'auteur 



obtient d'une autre manière la valeur de II -îjâ* u, en s'aidant 



d'ailleurs de considérations empruntées à Gauss lui-même. La mé- 

 tbode de M. Stieltjes peut être appliquée pour déterminer le 

 caractère cubique de 1 — p, et pour établir les théorèmes relatifs 

 au nombre a dans la théorie des résidus quadratiques. 



Extrait d'une lettre adressée a M. Houel, par M. Ebuukof. 

 (Bull, des se. math., a e série, t. VII, p. \kk\ i883.) 



L'auteur donne une nouvelle démonstration d'un théorème anté- 

 rieurement énoncé par lui. (Bull., i re série, t f II.) 



Soit it (a?) une fonction ayant une seule valeur pour toutes les 

 valeurs réelles et positives de x comprises entre b et 00 , et soit 



/(»)+/(»+ 1)+/(«+ 2 )+... 



une série quelconque. Cette série est divergente ou convergente, 

 suivant que le rapport 



/(*) 



tend vers une limite plus grande ou plus petite que l'unité lorsque 

 x croît indéfiniment. 



Dans ses recherches antérieures, l'auteur affirmait qu'aucune 

 série n'échappait à son critérium; il en cite actuellement quelques- 

 unes dont la convergence ne peut être prouvée par ce critérium et 

 bien moins encore par les autres règles connues. 



