ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 693 



Sur le terme complémentaire de là série de M. Tchebycheff 

 donnant l'expression approchée d'une intégrale définie par d'autres 

 prises entre les mêmes limites, par M. PossÉ. (Bull, des se. math., 

 2 e série, t. VII, p. 21&; 1880.) 



M. Tchebycheff a donné (Soc. math, de Kharkof, janv. 1880) une 

 formule pour exprimer l'intégrale 



uv dx , 



y 



u et v étant des fonctions quelconques continues entre les limites 

 d'intégration, 9 une fonction de x restant positive entre les mêmes 

 limites, sous forme de série, dont le terme général est 



I u4>m 8 dx l V^m 



6 du 



fa ^ 



Ode 



\f/ m désignant le dénominateur de la réduite de rang (m+ 1) obte- 

 nue par le développement en fraction continue de l'intégrale 



>h 6(z)dz 



j: 



Arrêtant la série au terme où l'indice m est égal à n — t et dési- 

 gnant par R n le terme complémentaire, M. Tchebycheff a énoncé 

 sans démonstration les deux propriétés suivantes de ce reste : 



i° La valeur absolue de R n ne surpasse jamais la quantité : 



( h i>\Bdx 



V dz B ) 



A, B étant les plus grandes valeurs absolues des dérivées d'ordre n 

 -t— , jr~') entre les limites d'intégration. 



2 Si les dérivées d'ordre n des fonctions u et v ne changent 

 pas de signe entre les limites d'intégration , le signe R n est celui du 

 produit 



d*ud n v 



Tîxndx»' 



