842 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



F se réduisant ici à un polynôme; quant à K n ., c'est une constante 

 pour laquelle Fauteur trouve la valeur : 



k (n) __ _J- Jl(n + i+j)11(n-i+j) 



ij~ 2™ n (y) n / n-i-j \ n / n -t+; \ ^ / n + i-j \ ' 



On trouve que le coefficient de cos lix cos %jy dans la fonction 

 . T7 esta un facteur près le carré du coefficient de cosix 



sin V r 



cos jy, dans la fonction Pj"' quand on "y remplace z par [i cos z 

 ~\-v cos y. 



La raison de cette analogie se trouve dans ce fait que, en 

 posant : 



yf n) _ sin(n+i)V 

 sin V ' 



où cos V = z, on a, pour #< 1, 



o 

 OO 



2 e " z( " ) ' 



=2> p 



(*). 



\/i -20Z + 2 



On est ensuite conduit à la question suivante. Posant : 



OO 



(i — a^-j-ô 2 ) - 



où j? 2* 2 , trouver une formule générale qui donne le dévelop- 

 pement du polynôme P(*) (p, z), quand on y remplace z par 

 /Le cos#+^ cos y. Ces polynômes P sont les fonctions sphériques 

 d'ordre supérieur de M. Heine. 



Ce qui précède résout la question pour p — 2, 3. M. Tisserand 

 indique comment on peut, pour_p= 2j-f~ 3, q étant un entier po- 

 sitif, trouver le coefficient B! 2 !' q ' de h cos ix cos iy dans le déve- 

 loppement de P( aw ) (2p+ 3, z) ; on a alors : 



nlan.j)^ H (n -f g) n Q -f (/ -f t) (fiv)i „ 

 '«.» n(n)n( <? ) n'(gr + t)n(i)n(n-'t) *' 



où 



