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Sun LES SURFACES DONT LÀ COURBURE TOTALE EST CONSTANTE , par M. DâR- 



boux. (Comptes rend. Acad. des sciences, t. XGVII, p. 848 et 892; 



j883.) 



Après avoir rappelé divers travaux (Bonnet, Lie, Backlund) rela- 

 tifs à ces surfaces, M. Darboux établit, comme il suit, une impor- 

 tante proposition due à M. Bianchi. 



Soit (c) un système de courbes parallèles sur une surface (2); 

 soit (g) le système des lignes géodésiques trajectoires orthogonales 

 des courbes (c). Les tangentes aux lignes (g) sont normales à une 

 certaine surface (s) et touchent une seconde surface (2); (2) et 

 (2') sont les deux nappes de la surface des centres de courbure de 

 (s). En outre, (2') est le lieu des centres de courbure géodésique 

 des courbes parallèles (c) tracés sur (2). La relation est d'ailleurs 

 réciproque. 



Cherchons s'il existe une surface (2) sur laquelle on puisse tra- 

 cer des courbes parallèles (c) ayant en chacun de leurs points un 

 rayon de courbure géodésique égal à 1. En rapportant (2) aux 

 courbes (c) et aux lignes (g), l'élément linéaire prendra la forme : 



ds* = du* + C V, 



où C = e ±w ; la courbure totale de la surface sera donc constam- 

 ment égale à — 1. Si maintenant on considère la surface (2 ) 

 associée à (2), comme il a été expliqué, à cause de la réciprocité, 

 les lignes géodésiques (g) de (2) tangentes aux normales de (s) 

 auront pour trajectoires orthogonales des courbes parallèles (c) 

 dont les centres de courbure géodésique seront sur (2) et dont les 

 rayons de courbure géodésique sont égaux à 1 ; par conséquent, (2) 

 sera comme (2) une surface à courbure constante — 1, et les élé- 

 ments linéaires sur les surfaces (2) et (2) sont donnés par les 

 formules : 



(1) ds' 1 = du l -\-e^dv\ 



(2) ds'î^duï + e- ™dw\ 



Tel est le théorème de M. Bianchi; il en déduit la méthode sui- 

 vante : Considérons une surface (2) à courbure — 1; on obtiendra 

 comme il suit, un système simplement infini de systèmes coor- 

 donnés donnant à l'élément linéaire la forme (1) ; il suffit d'associer 

 en effet aux lignes géodésiques passant par un point à l'infini de 





