ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 845 



la surface leurs trajectoires orthogonales. Ainsi on déduira de (2) 

 une surface (2) contenant dans son équation une constante arbi- 

 traire; de même de (2') on déduira une équation contenant deux 

 constantes arbitraires, etc.; l'application de ce procédé n'exigera, 

 comme M. Lie en a fait la remarque, que des quadratures. 



D'un autre côté, M. Darboux établit une élégante proposition 

 due à M. Ribaucour, et qui comprend la proposition de M. Bian- 

 chi; elle consiste en ce que, étant donnée une surface (2) à cour- 

 bure — î, si Ton trace dans chaque plan tangent un cercle de 

 rayon î ayant son centre au point de contact, tous les cercles ainsi 

 obtenus sont orthogonaux à une famille de surfaces toutes à cour- 

 bure constante — î, et, en outre, ces surfaces font partie d'un sys- 

 tème orthogonal triple, dont les deux autres familles sont compo- 

 sées de surfaces enveloppes de sphères. 



Si, en effet, on rapporte la surface (2) à ses lignes de courbure, 

 l'élément linéaire prendra la forme : 



( 3 ) ds 2 = cos 2 co du 2 -(- sin 2 co dv 2 , 



où co vérifie l'équation : 



( h ) à-, ~ v~9 + sm ^cosw=o. 



Si, dans le plan tangent en M, on mène une ligne MM' de lon- 

 gueur î faisant avec la courbe w = const. l'angle #, et si l'on écrit 

 que M' décrit une surface dont le plan tangent passe en M et est 

 normal au plan tangent à 2 , on obtient les équations : 



5) 



t)0 . OU û 



_ — l_ _ — sm v cos co , 



du dv 



— -\ = — cos co sm 



ôv ' u 



compatibles sous la condition (4), comme on le voit en éliminant 0\ 

 inversement elles donnent une valeur 6 contenant, outre m, v, une 

 constante arbitraire a, lorsqu'on se donne la fonction co vérifiant 

 l'équation (k). 



On en déduit, si u, v, a sont les coordonnées curvilignes du 

 point M', l'expression du déplacement ds de ce point , savoir : 



^2 _ C0S 2 fl du 2 _|_ sin 2 Q dv 2 + / 1? V ^ 



