846 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



qui met en évidence îe système triple orthogonal. Dans une com- 

 munication postérieure, M. Darboux discute le système (5). La va- 

 leur de 6 trouvée comme il a été expliqué plus haut est aussi une 

 solution de l'équation (h)'* donc, de toute solution de l'équa- 

 tion (li) on peut déduire une solution nouvelle contenant une con- 

 stante arbitraire; c'est la valeur de 6 la plus générale satisfaisant 

 aux équations (5). 



D'une solution particulière quelconque des équations (5) on 

 peut déduire cette solution 9' la plus générale; pour cela on effec- 

 tue les quadratures définies par les formules : 



/ dot = cos cos oo du -f- sin oo sin dv, 



( 6 ) | e ~ *&$ = cos oo sin 6 du — sin co cos 6 dv , 



[ e a dy == cos sin oodu-\- sin oo cos 6 dv ; 



la solution 0' est alors donnée par la formule : 

 (7) cotl=- e = ^-«. 



En remplaçant dans (6) 6 par 6\ on obtient immédiatement les 

 nouvelles valeurs aï et /S' de a, /3; y' s'obtient par une quadrature. 

 On arrive à des résultats analogues en regardant 6 comme donné 

 et cherchant la solution la plus générale de oo qui vérifie les équa- 

 tions (5). 



En appliquant successivement ces deux opérations , on déduit de 

 tout système de solutions des équations (5) un nombre illimité de 

 systèmes nouveaux contenant autant de constantes qu'on le voudra, 

 et la détermination de chaque système nouveau n'exige qu'une nou- 

 velle quadrature. Enfin l'auteur établit la curieuse proposition que 

 voici , qui forme la conclusion de ses recherches : rc II suffira d'effec- 

 tuer au début, en dehors de a, /S, 7, un certain nombre de qua- 

 dratures (inférieur d'une unité au nombre de solutions nouvelles 

 que l'on veut obtenir), portant sur des fonctions parfaitement dé- 

 terminées de u et de v, et ces quadratures une fois effectuées, l'ap- 

 plication de la méthode n'exigera plus que des calculs algébriques 

 des plus élémentaires. ■>•> 



