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Sur là courbe du quatrième degré 1 deux points doubles, par 

 M. Humberï. (Comptes rend. Acad. des sciences, t. XCVII, p. 1287; 

 i883.) 



Les coordonnées des points d'une courbe S du quatrième degré, 

 de genre un, peuvent se mettre sous la forme 



X i = A i P 1 (f) + B i P 2 (f) + C i P 3 (t) + l) i P 4 (() (i=i, 2 ,3), 



en posant 



— 00 



Les arguments t, i-\-co, t-\-kœ donnent le même point de la 

 courbe. Appelons points conjugués dans un système ar deux points 

 de la courbe S dont les arguments ont pour somme cr; systèmes 



principaux les quatre systèmes o,-, 2 a/, 2<w'-| — ; systèmes semi- 

 principaux les douze systèmes obtenus en ajoutant à Tune des 

 quantités j, 00 , cv -j-r lune des quantités o, -,2&>,2<i> -| Les 



droites joignant deux points conjugués dans le système <r enve- 

 loppent une conique tangente à S en quatre points situés sur une 

 conique passant par les deux points doubles. Les droites joignant 

 deux points conjugués dans un des systèmes principaux passent par 

 un point fixe qui sera dit un centre. A chaque système semi-prin- 

 cipal correspond un point O, tel que les quatre conjugués dans ce 

 système des points où S est coupée par une droite quelconque A, 

 issue de O, sont sur une droite B, passant par O. (O sera dit un 

 semi-centre). Les droites A et B sont en involution. Le segment 

 déterminé par deux points conjugués dans un système semi- prin- 

 cipal est partagé harmoniquement par deux droites fixes concourant 

 au semi-centre correspondant. Les coordonnées des centres et semi- 





centres ne dépendent nullement de la quantité </ = e » q U i figure 

 dans la formule posée au début; par suite toutes les courbes re- 

 présentées par ces équations ont mêmes centres et semi-centres, 

 si À;... Df ont toujours les mêmes valeurs, q étant quelconque. La 

 même conclusion subsiste pour les courbes du quatrième degré re- 

 présentées par les équations 

 Xi=fonct. rationnelle [t, sj(i -* 2 )(i — K 2 f 2 )] (t = 1, 2, 3), 



