868 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



périodiques de troisième espèce sont définies par deux relations 

 qu'on peut mettre sous la forme 



minai 



F(ff + 2K) = F(ff), ¥(xA r ^i^) = e K F(*), 



m désignant un entier positif ou négatif, mais différent de zéro. 

 M. Appell suppose que la fonction F (x) n'a d'autres points singu- 

 liers à dislance finie que des pôles du premier ordre ; et il exprime 

 F (x) par une somme d'éléments simples n'ayant chacun qu'un 

 seul pôle dans un parallélogramme des périodes 2K, 2^K', plus une 

 partie entière s'il y a lieu. D'ailleurs ses méthodes s'appliquent en- 

 core quand la fonction F (x) admet des pôles d'ordre quelconque 

 ou des points essentiels isolés. 



Soit d'abord m > o : l'élément de décomposition choisi est la 

 fonction 



. x — a 



•0/ / \ 2 K H' (0) H(a? — a 1 )H(a? — Og). . . E(x — a m +i) 



* m {X,a) — e H (* - a) " H (a - aj H (a-« 2 ). . . H (a-a m+i y 



où les lettres a x , a 2 . . . , a m désignent des constantes arbitraires, et 

 a m+1 est définie par la relation 



a TO + 1 = a + mK — («! + a 2 + ■ . • a m ). 



La décomposition cherchée est fournie par la formule 

 F (x) = R^ (a?, a x ) + R 2 \f/ m (x, a 2 ) + . . . + R^ (x, cc p ) + G(x), 

 où «j, a 2 . . . a p sont les jt? pôles simples de F (x) dans un parallé- 

 logramme des périodes, et R 1? R 2 , . . . R^, les résidus correspondants. 

 Enfin G (x) est une fonction entière vérifiant les équations qui défi- 

 nissent F (a?) : elle est composée linéairement à l'aide de m fonctions 

 entières connues. 



Pour m négatif, l'auteur s'en tient au cas où m = — 1 . 11 convient 

 alors de prendre pour élément de décomposition la fonction 



iit [x — a) 



n = + oo g ni™ / _ K\ 



/ x » ^ e +( l* n K > v ( W K'I 







va (x — a) 

 n = — 00 jr 



soient dans un parallélogramme des périodes a x , a 2 , . . . , a^ les pôles 



