ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 873 



P( : ), à l'intérieur du cercle C par la différence tt(z) — Q (z). 



Pj ( - ) sera la fonction caractéristique du point singulier z = o ; 



et Ton dira que deux fonctions ont le point 2 = pour point sin- 

 gulier de même espèce, quand la différence de ces deux fonctions 

 et par suite des fonctions caractéristiques correspondantes est holo- 

 morphe près du point zéro. 



Un nouveau théorème, corrélatif de celui de Laurent, permet à 

 M. Guichard d'aborder sous un autre point de vue la théorie des 

 points singuliers: Toute fonction, holomorphe entre deux cercles G 

 et G' ayant pour centre l'origine, est égale, dans cette étendue, 

 au produit de deux séries, contenant l'une les puissances positives, 

 l'autre les puissances négatives de la variable : 



7T(Z 



'^( Z )P(^) 



Il existe une fonction uniforme p l (- ), qui coïncide avec la 



série p en dehors du cercle intérieur G. L'exposant n peut être 



choisi de façon que le premier terme de j? T ( - ) soit indépendant 



de -, la fonction z n p l l - ) caractérise alors les zéros et les points 



singuliers situés à l'intérieur de G; M. Guichard l'appelle encore 

 fonction caractéristique. De là, une nouvelle définition de l'espèce 

 d'un point singulier : Deux fonctions ont l'origine pour point sin- 

 gulier de même espèce, lorsque leur quotient, et par suite celui des 

 fonctions caractéristiques correspondantes, est holomorphe au voi- 

 sinage de l'origine. Cette définition ne concorde pas avec la pre- 

 mière : il est impossible que deux fonctions différentes aient l'ori- 

 gine comme point singulier de même espèce dans les deux modes 

 de décomposition. 



Le théorème de M. Mittag-Leffler s'étend aux points singuliers 

 définis par la décomposition en somme : M. Guichard l'énonce dans 

 sa plus grande généralité. A ce théorème correspond une proposi- 

 tion analogue pour la décomposition en produit; celle-ci donne le 

 moyen de décomposer une fonction uniforme en un produit de 

 facteurs primaires contenant soit un zéro, soit un pôle, soit un 

 point essentiel à distance finie, au plus. 



L'auteur fait marcher de pair la classification des points singu- 



Revue des trav. sgif^t. — T. IV, m 11. 57 



