874 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



liers et celle des fonctions uniformes. Un point singulier sera de 



première classe quand la fonction Pj ( - ) ou p 1 1 - \ , qui définit, 



l'espèce du point singulier, est holomorphe dans tout le plan, sauf 

 au point z=o. Ces deux définitions, qui correspondent à la dé- 

 composition en somme et à la décomposition en produit, con- 

 duisent au même résultat. Une fonction uniforme qui a des points 

 singuliers sera dite de première classe quand tous ses points sin- 

 guliers sont de première classe. Le point infini d'une fonction de 

 première classe, dont les points singuliers sont en nombre illi- 

 mité, est un point singulier de deuxième classe. En général, le 

 point a sera un point singulier de deuxième classe quand les fonc- 

 tions P ( - — - \ , p ( \ sont telles que P (z — a), p (z — a) 



soient des fonctions uniformes de première classe, ayant une infi- 

 nité de points singuliers. Une fonction uniforme est de deuxième 

 classe quand elle n'a que des points singuliers de première et de 

 deuxième classe. Le point infini d'une fonction uniforme de 

 deuxième classe définit le point singulier de troisième classe. 



En continuant ainsi on arrive à classer de proche en proche 

 les fonctions uniformes et les points singuliers. Cette classification 

 met en évidence cette double propriété fondamentale des fonctions 

 uniformes : i° Toute fonction de classe », dans une étendue limi- 

 tée, a dans cette étendue un nombre fini de points singuliers de 

 classe »; 2° Si une fonction est de classe » sur toute la sphère, le 

 nombre de ses points singuliers de classe » est limité. 



Tous les points singuliers et toutes les fonctions uniformes ne 

 rentrent pas dans la classification précédente. On peut en effet for- 

 mer, d'après le théorème de M. Mittag-Leffler, une fonction ayant 

 les points singuliers 1, 2, ... n d'espèces P 1? P 2 , ... P„, 



P n ( ) définissant un point singulier de classe n. Cette fonction 



ne rentre dans aucune des classes précédemment énumérées; on 

 dit qu'elle est du deuxième genre. Son point infini constitue une 

 nouvelle espèce de discontinuité, que M. Mittag-Leffler appelle un 

 point singulier du deuxième genre. Les points singuliers et les fonc- 

 tions uniformes du deuxième genre se divisent à leur tour en 

 classes , jouissant de la double propriété fondamentale signalée poul- 

 ies points et les fonctions du premier genre. Si Ton forme une 

 fonction uniforme ayant le point 1 comme point singulier de classe 1 ., 



