ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 875 



je point 2 comme point singulier de classe 2, le point n comme 

 point de classe n, .... le point infini d'une telle fonction est une 

 singularité nouvelle que M. Guichard appelle point singulier du 

 troisième genre, et ainsi de suite. 



Mais la classification par genres ne suffit pas encore. H y a lieu 

 de grouper les fonctions uniformes et les points singuliers en 

 familles, comprenant chacune une infinité de genres. On pourra 

 former une suite illimitée de familles; on n'aura pas encore formé 

 toutes les fonctions et tous les points singuliers possibles. On peut 

 continuer ainsi indéfiniment, 



Dans la deuxième partie de son travail , l'auteur étudie les fonc- 

 tions simplement périodiques qui ont des points singuliers essen- 

 tiels. Il les obtient d'abord sous la forme de produits ou de sommes 

 de termes primaires, puis sous la forme de développements en 

 série qui les représentent d'une façon plus simple. 



La dernière partie est consacrée à l'étude des fonctions double- 

 ment périodiques. M. Guichard forme d'abord des fonctions inter- 

 médiaires qui jouent dans cette théorie un rôle analogue à celui 

 des fonctions 6 dans la théorie des fonctions doublement pério- 

 diques méromorphes. En employant la méthode donnée par 

 M. Appell (Comptes rendus, 3 avril 1882), on arrive à développer 

 ces fonctions intermédiaires en séries. Avec ces fonctions intermé- 

 diaires on peut former des fonctions doublement périodiques. En 

 cherchant les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'on 

 puisse former une telle fonction, quand l'espèce et la position de 

 ses points singuliers sont données, l'auteur parvient a généraliser 

 un certain nombre de théorèmes relatifs aux fonctions méro- 

 morphes doublement périodiques. La méthode de décomposition 

 en somme généralise le théorème des résidus; la méthode de dé- 

 composition en produiis généralise les théorèmes de Liouville. Au 

 lieu de passer par l'intermédiaire des fonctions simplement pério- 

 diques, on peut arriver directement aux fonctions doublement pé- 

 riodiques par la considération de sommes et de produits double- 

 ment infinis. C'est ainsi que M. Guichard étend aux fonctions 

 périodiques les plus générales les résultats obtenus par M. Gayley 

 dans sa théorie des fonctions doublement périodiques méromorphes. 



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