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Mémoire sur la multiplication dont le multiplicateur est la somme 

 x-\-a, par M. D. André. (Ann. de Y Ecole normale, 2 e série, t. XII, 

 supplément, p. 3; 1 883.) 



L'objet principal de ce mémoire est la recherche des caractères 

 qui permettent de déterminer à priori le nombre exact des couples 

 de variations perdues dans le produit d'un polynôme/(#) par x -[- a. 

 La solution de ce problème repose sur la notion des trinômes abais- 

 seurs. 



M. André appelle trinôme abaisseur lout groupe de trois termes 

 consécutifs où les coefficients extrêmes sont du même signe, et où 

 le carré du coefficient moyen ne dépasse pas le produit des coeffi- 

 cients extrêmes. Le polynômc/(.r) est supposé ordonné par rapport 

 aux puissances décroissantes de x; deux termes sont dits consécutifs 

 lorsqu'ils ne sont point séparés par une lacune. 



Un trinôme abaisseur est de première espèce ou de seconde espèce, 

 suivant qu'il présente deux variations ou deux permanences. 



Dans un même polynôme, deux trinômes abaisseurs de même 

 espèce sont distincts lorsqu'ils n'ont aucun terme commun ou qu'ils 

 en ont un seul; ils sont imbriqués lorsqu'ils en ont deux. 



Plusieurs trinômes abaisseurs, tous de même espèce, sont dis- 

 tincts lorsque deux quelconques d'entre eux sont toujours distincts; 

 compatibles, lorsqu'il existe un nombre, au moins, que chacun d'eux 

 comprenne. On dit qu'un nombre positif x est compris dans un tri- 

 nôme abaisseur 



±(LxP+ l zfMxP + NxP- i ), M 2 <LN, 



lorsqu'il satisfait à la double inégalité : 



M ■ N 



r <a<n- 

 L — — M 



Ces définitions posées, l'auteur démontre le théorème suivant, 

 qui est fondamental : 



Lorsqu'on multiplie par x -j- a (a > o) un polynôme entier/(#) , 

 ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, on perd juste 

 autant de couples de variations qu'il y a, dans ce polynôme, de tri- 

 nômes abaisseurs de la première espèce, distincts les uns des autres, 

 et comprenant le nombre a. 



Ce théorème, si remarquable par sa précision, permet à M. An- 



