ANALYSES ET ANNONCES. - MATHEMATIQUES. 877 



dré de résoudre un certain nombre de problèmes importants relatifs 

 à la multiplication d'un polynôme par x-\-a. La résolution de ces 

 problèmes se simplifie beaucoup lorqu'on a recours à un certain 

 mode de représentation graphique du système des trinômes abaisseurs 

 qui figurent dans f(x). 



Appliqué à l'abaissement des limites des racines fournies par la 

 règle des signes de Descartes, le théorème fondamental conduit à 

 deux théorèmes nouveaux, qui présentent le double avantage de 

 donner tout l'abaissement qu'on peut tirer de la multiplication par 

 x-\-a, et d'être applicables dès que les coefficients satisfont seu- 

 lement à certaines inégalités. Voici ces deux théorèmes : 



I. Si l'on désigne par v le nombre des variations du polynôme 

 f{x), par 6 le plus grand nombre des trinômes abaisseurs de pre- 

 mière espèce, distincts et compatibles, que présente/(#), le nombre 

 des racines positives de l'équation f(x) = o, est, au plus, égal à 

 v — 2$, et, s'il est inférieur à cette limite, c'est d'un nombre pair. 



II. Si l'on désigne par w le nombre des variations du polynôme 

 f(—x), par t le plus grand nombre des trinômes abaisseurs de la 



seconde espèce, distincts et compatibles, que présente le polynôme 

 /(#), le nombre des racines négatives de i'équation/(#) = o est, 

 au plus, égal à w — 2t, et s'il est inférieur à cette limite, c'est d'un 

 nombre pair. 



L'auteur termine par la démonstration de plusieurs théorèmes 

 sur les équations dont toutes les racines sont réelles et sur les 

 sommes des produits nànde ces racines. 



MÉMOIRE SUR LA MULTIPLICATION DONT LE MULTIPLICATEUR EST LA DIFFÉ- 

 RENCE x — a, par M. D. André. (Ann. de l'Ecole normale, 2 e série, 

 t. XII, supplément, p. 33; i883.) 



L'analyse du mémoire précédent nous dispense d'insister lon- 

 guement sur celui-ci. 



M. André appelle trinôme élévateur tout groupe de trois termes 

 consécutifs qui présente deux permanences, et où le carré du coef- 

 ficient moyen est moindre que le produit des coefficients extrêmes. 



On dit qu'un nombre positif a est compris dans le trinôme élé- 

 vateur 



±(LxP +1 -\*MxP + NxP- i ), M 2 <LN, 



