878 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES, 



s'il satisfait à la double condition 



M ^ N 



Les mots distincts, imbriqués, compatibles se définissent, pour les 

 trinômes élévateurs, de la même façon que pour les trinômes abais- 

 seurs. 



Le théorème fondamental est le suivant: 



Dans la multiplication du polynôme entier/(#) par x — a (a> o) 

 il se gagne: autant de variations qu'il y a dans f(x) de trinômes 

 élévateurs comprenant a, et non superflus; plus autant de couples 

 de variations qu'il y a dans/(#) de lacunes présentant une per- 

 manence; plus, enfin, une variation unique. 



Un trinôme élévateur comprenant a est superflu lorsque ses 

 deux premiers coefficients composent ou terminent une suite de 

 coefficients consécutifs, tous de même signe, formant une progres- 

 sion de raison a, et précédés immédiatement soit d'une lacune, 

 soit d'un coefficient de signe contraire, soit d'un coefficient de 

 même signe, trop petit en valeur absolue pour faire partie de la 

 progression. 



Les trinômes superflus ne peuvent se présenter qu'exceptionnel- 

 lement. 



Théorie des groupes fughsiens, par M. Poincaré. 

 (Âcta mathematica, t. I er , p. 1; 1882.) 



M. Poincaré appelle groupes fuchsiens les groupes discontinus 

 formés de substitutions à coefficients réels. 



Il montre que définir un groupe fuchsien revient à décomposer 

 le plan ou une portion du plan en une infinité de cases R , R 1? R 2 , 

 formant damier, dont chacune correspond à une substitution du 

 groupe, de telle sorte que, quand z parcourtla caseR , le point cor- 

 respondant '* * parcourt la case Rf. Ces cases peuvent être ré- 

 duites à des polygones curvilignes situés tout entiers au-dessus 

 de Taxe X (axe des quantités réelles), et ayant des côtés de deux 

 sortes : ceux de la première sorte sont des arcs de cercle ayant leur 

 centre sur l'axe X; ceux de la seconde sorte sont des segments de 

 cet axe, Les substitutions fondamentales du groupe changent ce poly- 



