ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 879 



gone R en un polygone limitrophe. Le groupe sera donc entière- 

 ment déterminé quand on connaîtra ie polygone R et les polygones 

 limitrophes. L'étude de ce polygone générateur R conduit aux 

 conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il donne naissance à 

 un groupe fuchsien : par suite, pour former tous les groupes fuch- 

 siens, il n'y a qu'à former tous les polygones R qui réalisent ces 

 conditions. 



M. Poincaré donne des exemples de groupes fuchsiens parmi 

 lesquels le groupe à coefficients entiers de M. Klein. (Recherches 

 sur les fonctions modulaires, Mathematische Annalen, t. XIV.) 



Après avoir classé les groupes fuchsiens d'après leur genre, il 

 inclique des moyens de simplifier le polygone générateur, et en- 

 seigne à reconnaître si deux groupes donnés sont ou ne sont pas 

 isomorphes. Puis il passe à la formation effective des groupes fuch- 

 siens et donne plusieurs exemples. 



Pour terminer, il signale, comme généralisation, des groupes de 

 substitutions imaginaires qui toutes conservent le même cercle 

 (cercle fondamental); ce seront encore des groupes fuchsiens. 





Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, par M. Poincaré. 

 .(Acta mathematica , t. I er , p. 19^ ; 1882.) 



La décomposition du cercle fondamental en polygones curvi- 

 lignes normaux R, tous congruents entre eux, est l'analogue de la 

 décomposition du plan en parallélogrammes dans la théorie des 

 fonctions doublement périodiques. 



On obtient des fonctions analogues aux fonctions 0, en prenant 



S) ®(*) = 2Hgi±§)(^ + £)-, 



où H (z) est une fonction rationnelle de z dont aucun infini n'est 

 situé sur le cercle fondamental (mod z= 1), où m est un entier 

 positif plus grand que 1, et où la sommation s'étend à toutes les 

 substitutions du groupe. Cette série, absolument convergente pour 



tous les points non compris dans la formule \ * , où a* dé- 



signe un des infinis de H(z), définit une fonction thêtafuchsienne, 



