880 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



La propriété fondamentale d'une telle fonction est exprimée par 

 l'équation 



Après avoir énuméré les singularités des fonctions thêtafuch- 

 siennes, M. Poincaré est amené à les classer en sept familles. Pour 

 certaines familles, le cercle fondamental est une ligne singulière, la 

 fonction n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Pour les autres 

 familles, la série (1) définit une même transcendante dans tout le 

 plan, partout holomorphe, sauf en une infinité de points, pôles et 

 points essentiels, ces derniers situés sur le cercle fondamental. 



En faisant le quotient de deux fonctions thêta fuchsiennes qui 

 correspondent à un même degré m, on obtient une fonction fuchsienne 

 (analogue aux fonctions doublement périodiques). Les singularités 

 d'une fonction fuchsienne sont les mêmes que celles des fonctions 

 thêtafuchsiennes d'où elle dérive. Toutes les fonctions fuchsiennes 

 qui correspondent à un même groupe s'expriment rationnellement 

 à l'aide de deux d'entre elles #, y, liées par une équation algé- 

 brique, dont l'auteur a déterminé le genre. 



La fonction fuchsienne x permet d'intégrer l'équation linéaire 



d?x dx /«&r\ 2 



dH dz 3 dz \dz 2 ) 



i— a — v — wp tx\ y ) , 



£ 



dont les coefficients sont des fonctions rationnelles du point analy- 

 tique (x, y). 



Sur les fonctions uniformes d'un point analytique, par M. Appell. 

 (Acta mathematica , t. I er , p. 109; 1882.) 



Soit F(#,i/) = o, une équation algébrique irréductible repré- 

 sentant une courbe d'ordre m et de genre p, pour laquelle le point 

 # = 00 n'est pas un point critique. Un point analytique (#, y) est 

 le système formé par une valeur de x et par une des m valeurs 

 correspondantes de y. Une fonction uniforme du point analytique 

 (x, y) reprend la même valeur lorsque ce point décrit un cycle 

 quelconque. 



